Transformaciones Lineales

 

 

Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones  lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal.  Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.

 

Repaso de funciones:

 

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios.  Suponga que a cada  a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B.  Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama la imagen de a por f.  El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f.  Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).

 

A cada función  f: A → B  le  corresponde  el  subconjunto de  A x B  dado por {(a, f(a))│a є A}.  Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

 

Ejemplo:  Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x su cuadrado x2, esto es, f(x) = x2.   La imagen de  -3  es  9  se expresa de la forma f(-3) = 9.

 

Definición:  Sean V, W espacios vectoriales.  Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:

 

 

 Notación: Escribimos T: V → W para representar que T lleva V a W.

 

 

Ejemplos (para discusión):

 

1)

Sea T: R2 → R2 definida por T(x, y) = (x + y, y).  Determina si T es una transformación lineal.

2)

Sea T: R2 → R2 definida por T(x, y) = (-x , y).  Esto es, T(1, 2) = (-1, 2).  Determina si T es una transformación lineal.

3)

Sea T: R3 → R2 definida por T(x, y, z) = (x , y).  ¿Será T una transformación lineal?

 

4)

Sea T: R2 → R3 definida por   Por ejemplo, .  Indica si T es una transformación lineal.

5)

Sean  V  y  W  espacios vectoriales  y  defina T: V → W  por  Tv = 0 para todo v є V.  ¿Es T una transformación lineal?

6)

Sea V un espacio vectorial y defina T: V → V  por  Tv = v para todo  v є V.  ¿Es T una transformación lineal?

7)

Defina T:Mmn → Mmn por T(A) = At.  ¿Será T una transformación lineal?

8)

Sea T:C[0, 1] → C’[0, 1] definida por Tf = f’.  ¿Representa T una transformación lineal?

9)

Sea T: C[0, 1] → R definida por .  Determina si T es una transformación lineal.

10)

Sea T: C[0, 1] → R definida por Tf = f(0) + 1.  Indica si T es una transformación lineal.

11)

Considera la función T: R2 → R2 definida por .  ¿Es T una transformación lineal?

12)

La función f: R → R definida por f(x) = x2 no es una transformación lineal, pues, (x + y)2  ≠ x2 + y2.  En particular, 5 = 2 + 3 pero:

f(5) = 52 = 25 ≠ 13 = 22 + 32 = f(2) + f(3).

13)

La función f: R2 → R definida por T(u) = ║u║ no es una transformación lineal, pues, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║.  Por ejemplo, si u = (1, 2) y v = (3, 4), tenemos que:

Por tanto, ║u + v║ ≠ ║u║ + ║v║.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Ejercicio: Sea T: R2 → R2  determina si T es una transformación lineal si esta definida como:

 

  1. T(x, y) = (x, -y)
  2. T(x, y) = (x, 1)

 

 

Asignación:  Determina si la transformación dada de V a W es lineal:

 

  1. T: R2 → R2;  T(x, y) = (0, y)
  2. T: R2 → R2;  T(x, y) = (1, y)
  3. T: R2 → R2;   T(x, y) = (x + y, x – y)
  4. T: R2 → R2;  T(x, y) = xy
  5. T:Mnn → Mnn; T(A) = At A
  6. T: P2 → P1; T(a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1x

 

 

Respuestas:

 

  1. Si
  2. No es transformación lineal
  3. Si
  4. No, pues T[α(x, y)] = T(αx, αy) = αx ∙αy = α2xy
  5. No, pues (A + B)t (A + B) = (At + Bt) (A + B) = AtA + AtB + BtA + BtB, pero

T(A) + T(B) = AtA + BtB ≠ T(A + B)

  1. Si