Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general ax + by + c = 0;

donde a, b, c representan números reales y las tres no pueden ser iguales a cero a la misma vez.

Ejemplos

2x + 3y - 2 = 0

5y - 3x = 4

4x - 9y + 1 = 0

10a - 12b = 60

7y = 21x

3x + 0y = 21

Hallar la solución de una ecuación lineal en dos variables consiste en encontrar aquellos valores para cada variable que hacen cierta o satisfacen a la ecuación.

Halle la solución de las siguientes ecuaciones:

1. x + y = 12 ¿Cuántas soluciones son posibles?

2. 5x = 10y ¿Cuántas soluciones son posibles?

Solución de una ecuación lineal en dos variables

La solución de una ecuación lineal en dos variables de la forma general ax + by + c = 0, es un conjunto infinito de elementos de la forma ( x, y ) que satisfacen a la ecuación. Por ser éste un conjunto infinito no podemos enumerar a cada uno de sus elementos de manera que representamos al conjunto solución de la siguiente forma; { (x,y) | ax + by + c = 0 }

 Ejemplo

El conjunto solución de la ecuación 3x + y = 5 es { (x,y) | 3x + y = 5 }.

Uno de los elementos de este conjunto solución lo es el par ordenado (1,2), es decir , una solución posible la obtenemos cuando x = 1 y y = 2. Verifique esta solución.

¿El par ordenado ( 3, -4 ) es un elemento de l conjunto solución de la ecuación anterior?

Práctica

1. Verifica si el par ordenado indicado es elemento del conjunto solución de la ecuación correspondiente:

a. ( 1,1) 7x - 2y = 5

b. (-2, 3) 3x + y = 3

Procedimiento para hallar un elemento del conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables ( par ordenado) .

1. Asignar un valor real a una de las dos variables y sustituir este valor en la ecuación.

2. Simplificar la ecuación.

3. Resolver la ecuación lineal en una variable que obtenemos al sustituir en el paso anterior. Despejar para la variable que nos queda.

*** Los valores que obtenemos para cada una de las variables es una de la infinita cantidad de pares de valores que satisfacen a la ecuación.

Práctica

2. Halla dos elementos del conjunto solución para cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 4x - 2y = 8

2. 3y - 5x = 9

Sistema de Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Todo par ordenado (x,y) se puede representar como un punto en el Plano Cartesiano.

El par ordenado (x,y) es la coordenada del punto y nos indica cuál es la dirección de éste en el Plano Cartesiano.

Ya que el conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables consiste en un conjunto infinito de pares ordenados, entonces podemos representar la solución de esta ecuación en el Plano Cartesiano con una gráfica.

La gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una línea. Esta línea es la representación gráfica del conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables.

Para definir una línea, para dibujarla, hacen falta al menos dos puntos por lo tanto para dibujar la línea es necesario encontrar dos pares ordenados del conjunto solución.

Los interceptos en los ejes son puntos importantes de una línea.

Intercepto en x es un punto de la línea que corta o intercepta el eje de x.

Este punto es de la forma ( x ,0 ) , es decir, es un punto en el que su coordenada tiene a y = 0.

Intercepto en y es un punto de la línea que corta o intercepta el eje de y.

Este punto es de la forma ( 0, y ) , es decir, es un punto en el que su coordenada tiene a x = 0.

La Pendiente de una Línea

La pendiente de una línea es una medida de inclinación de esa línea con respecto al eje de x.

Observaciones sobre la pendiente (m) :

- una línea crece o decrece a una razón constante

- la pendiente de una línea es única

- la pendiente es la razón del ascenso vertical con respecto al avance horizontal

Fórmula para hallar la pendiente ( m )

Sean P₁ = ( x₁, y₁) y P₂ = ( x₂, y₂ ), dos puntos de una línea, entonces la pendiente de esa línea es dada por:

EJEMPLO 1

¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por los puntos ( 1, 8 ) y ( 5, 16) ?

Sustituímos en la fórmula y tenemos lo siguiente

Observa que no importa el orden en que sustituyas la coordenada del punto en la fórmula el valor que obtenemos es el mismo.

Veamos qué ocurre al cambiar el orden de los puntos:

Este valor se interpreta de la siguiente forma " POR CADA UNIDAD QUE AUMENTA X LA VARIABLE Y AUMENTA DOS UNIDADES" . En términos del comportamiento de esta línea decimos que es CRECIENTE.

Dibuja la gráfica de esta línea y observa el comportamiento de ésta.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por los puntos ( 5,3) y ( 4,6) ?

Sustituímos en la fórmula y tenemos lo siguiente

Este valor se interpreta de la siguiente forma " POR CADA UNIDAD QUE AUMENTA X LA VARIABLE Y DISMINUYE TRES UNIDADES" . En términos del comportamiento de esta línea decimos que es DECRECIENTE.

Dibuja la gráfica de esta línea y observa el comportamiento de ésta

Práctica

Halla la pendiente de la línea que pasa por los puntos indicados, dibuja la gráfica correspondiente e indica cuál es el comportamiento de esa línea:

1. ( -3, 8) y ( 6, -2)

2. ( 4,10) y ( -7,10)

3.( 0,0) y ( 4, 12)

4. (9,18) y ( 9, 9)

Respuestas de los ejercicios de práctica

Respuestas a los ejercisios de práctica y de los ejemplos

Ejemplo 1 a

X + Y = 12

x	y
10	2
1	11
-2	14
0	10
11.5	.5

¿Cuántas soluciones son posibles? Infinitas

Podemos expresar esta respuesta en pares ordenados (10,2), (1,11), (-2,14), (0,10), (11.5,.5)

Estos pares ordenados son algunos de los elementos del conjunto solución.

Observación: El par ordenado ( 10, 2 ) y el (2,10) NO son los mismos. Recuerda que en esta notación el orden es

muy importante , el primer valor corresponde a la variable x y el segundo a la y.

Ejemplo 1 b 

5x=10y

x	y
2	1
4	2
1	1/2
-2	-1

Pares ordenados correspondientes: (2,1), (4,2) , (1,1/2), (-2,-1)

La solución es un conjunto infinito de pares ordenados tal que 5x=10y.

NOTACION {(x,y)|5x=10y}

Práctica

1. a. 7(1)-2(1)=5

7-2 = 5 ; 5=5 Si es elemento del conjunto solución

b. 3(-2)+3=3

-6+3=3 ; -3 ¹ 3

2. a. 4x-2y=8

Paso I Asigno a una de las variables un valor real

X=2 sustituyo

4(2)-2y=8 simplifico

8-2y=8

Paso II Resuelvo la ecuación lineal que obtengo para la variable que queda en la ecuación.

-2y=0

y=0

Paso III Expreso la respuesta como par ordenado

(2,0)

Para hallar un segundo par ordenado repito el procedimiento anterior con un valor distinto.

b. 3y-5x=9

Paso I Asigno a una de las variables un valor real

y=-7 sustituyo

3(-7)-5x=9 simplifico

-21-5x=9

Paso II Resuelvo la ecuación lineal que obtengo para la variable que queda en la ecuación.

-5x=30

x=-6

Paso III Expreso la respuesta como par ordenado

(-6,-7)

Ejemplo 1

EJEMPLO 2

Práctica - Pendiente de una línea

1. ( -3, 8) y ( 6, -2)

2. ( 4,10) y ( -7,10)

3. ( 0,0) y ( 4, 12)

4. (9,18) y ( 9, 9)