LOGARITMOS

 

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

 

Text Box: DEFINICION DE LOGARITMOS a = bx Û log b a = x

 

 

Text Box: Propiedades de los logarítmos:

 

Ejemplos

 

  1. log 2 8 = 3   si  2 3 = 8

 

  1. log 3 1/9 = -2  si 3 -2 = 1/9

 

  1. log 10 1000 = 3 si 103 = 1000

 

  1. 53 = 125  si  log5 125 = 3

 

  1. 4 1/2 = 2 si  log42 = 1/2

 

  1. 10-2 = 1/100 si log10 1/100 = -2

 

 

Práctica

 

I  Expresa los siguientes logarítmos en su notación exponencial.

 

1.   log 64 4 = 1/3 

 

2.   log 13 13 = 1

 

3.   log 1/3 27 = -3

 

II  Expresa los siguientes exponentes en su  forma logarítmica

 

1.    4 3 = 64

     

2.    8 -2 = 1/64

 

3.    25 1/2 = 5                                      

 

III   Evalúa los siguientes logarítmos.

 

1.    log 8 8 =

 

2.   log 8 1 =

 

3.   log 2 32 =

 

Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es  diez.

 

Ejemplo         

Si , entonces x = 2, porque la base es diez y  tenemos 

Llamamos logarítmo natural ,  , a  un logaritmo cuya base es  e ( e »  2.71828). 

 

Ejemplo           Si  ln 2.718 = x   entonces    x =.99998,   porque    la base es e, 

 

Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en la calculadora.

 

 

 

Su calculadora solo puede calcular logarítmos naturales o base 10, por lo tanto ,si desea resolver un logarítmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base.

 

 

FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE

 

Si u > 0  y  si  a y b son números reales positivos distinto de uno, entonces

                  

 

 

 

 

Ejemplo

 

 

 

 

Resuelve las siguientes ecuaciones.

 

  1. log  9  .3  =  x

 

  1. log 2  20 =  p

 

 

 

 

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

 

 

Leyes de los  logarítmos:

 

Sean   M y N valores positivos,

,  entonces:

 

 

Simplifica las siguientes expresiones expresándolas en término de un solo logaritmo de ser posible.

 

1.  log b ( x+1) - log b (x+2)

 

 

2.  log b x + 2 log b (x-1)

 

 

3.   log b (x-1) + log b 3 -   log b (x+1)

 

 

4.   2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x)

 

I    

 

II     

 

III     

 

 

 

Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos.

 

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS

 

#1  Aplicar  las propiedades de logaritmos  que sean necesarias para expresar la ecuación con un solo logaritmo.

#2    Simplificar de ser necesario

#3    Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos.

#4    Despejar para la variable

#5    Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.

 

 

1.     log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2

 

#1  Utilizamos la propiedad de la multiplicación               

#2  Expandimos el argumento del logaritmo

#3   Utilizar la definición de logaritmos

#4   Resolver la ecuación

 

 

 

#5  IMPORTANTE  Por definición el argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto verificamos las respuestas en el logaritmo correspondiente y la solución serán los valores que cumplan con la definición

 

 

  es solución de la ecuación

 

 

     no es Solución de la ecuación

 

2.    log ( x 3 - 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1

 

 

 

 

 

4.      log 2      4      =  0

                    x - 2 

 

 

3.   log 3   2x - log 3  (x + 5 ) = 0

 

 

 

5.    log x + log 5 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS

 

Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución.

 

 

EJEMPLO 1

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.       Aplica la definición de logaritmo.

2.       Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

 

 

 

 

 

 

EJEMPLO 2

 

 

 

 

 

1.       Aplica la definición de logaritmo.

2.       Aplica la propiedad del exponente.

3.       Despejar para la variable

 

 

4.       Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

 

 

EJEMPLO  3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.       Aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación.

2.       Aplica la propiedad del exponente.

3.       Despeja para la variable

·         Reúne los logaritmos a un lado de la ecuación y al otro lado los términos con la variable.

·         Se evalúan los logaritmos 

 

 

 

PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE

 

Evalúa

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

 

Resuelve para x

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

 

FUNCIóN  LOGARíTMICA

 

Para toda b > 0 y b ¹ 1, la ecuación        

 

es una función logarítmica con base b y Dominio x > 0.

 

PROPIEDADES

 

1.  Dominio     { x > 0 }

2. Rango  consiste en todos los números reales.

3.  Para  b > 1:

   la gráfica de esta función es creciente y  cóncava  hacia abajo.

4.  Para  0 < b < 1:

   la gráfica de esta función es decreciente y  cóncava  hacia arriba

5. Es una función uno a uno, por   consiguiente tiene función inversa..

6.  No tiene intercepto en y.

7.   El par ordenado     (1, 0) pertenece a su gráfica.

8.  El eje de y es asíntota vertical  de la función.

 

Observe que las propiedades de las funciones logarítmicas son similares a las funciones exponenciales.

 

La función logarítmica es función inversa de la función  exponencial.

 

 

EJEMPLO 1

 

f( x) =  log 2 x

 

 

 

 

 

 

EJEMPLO  2

 

f( x) =  log 1/2 x

 

 

 

 

 

 

TRASLACIONES

 

1)   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4)  

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)