Los números complejos

 

Preparado por:  Dra. Teresa Cruz

 

            Los números complejos se pueden representar por expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es un símbolo que se puede manipular de la misma manera que un número real y que tiene la propiedad siguiente:  i2 = -1. 

 

Decimos que dos números complejos a + bi   y   c + di   son iguales, y escribimos a + bi + c + di, si y sólo si a =c y b =d.   Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se definen como si todas las letras representaran números reales, con la condición adicional de que cada vez que aparezca i2 se sustituya por -1.  Por ejemplo, las fórmulas para la suma y la multiplicación de dos números complejos a + bi y c + di son

 

            (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i

                (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad +bc) i.

            Veamos a continuación algunos ejemplos:

 

(3 + 2i) + (-4+i) = (3-4) + (2i+i)

                                                    = -1 + 3i

 

                        (3 + 2i) - (-4+i) = (3+2i) + 4 - i

                                                  = 7 + i

 

            (3+2i)(-4+i)=3(-4)+3i - 8i+2i2

                                = -12 - 5i + 2 (-1)

                                = -14 - 5i

            Podemos considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, identificando el número real a con el complejo a + 0i.  Un número complejo de la forma 0 + bi se abrevia bi.

            Los números complejos aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es un polinomio.  Por ejemplo, si únicamente se admiten raíces reales, entonces la ecuación x2 = - 4 no tiene solución.  Sin embargo, si se admiten números complejos como raíces, entonces la ecuación tiene la solución 2i, ya que

            (2i)2 = 22i2 = 4 (-1) = -4.

También -2i es una solución de x2 = -4.

                   

Como i2 = -1, a veces usamos el símbolo  en lugar de i y escribimos

                         

                         =  i,   2 +   = 2 + 5i

 

Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas por la fórmula cuadrática

                                       

                        x=

                                          

 

Si b2 - 4ac < 0, entonces las raíces son números complejos.  Por ejemplo, si aplicamos la formula cuadrática a la ecuación x2 - 4x + 13 = 0, obtenemos

                                               

                        x= = 4 ± 6i

                                    2              2               

 

Por lo tanto, esta ecuación tiene las dos raíces complejas: 2 + 3i y 2 - 3i.

            El número a - bi se llama conjugado del número complejo a + bi.  Vemos en la fórmula cuadrática, que si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene raíces complejas, entonces éstas son conjugadas una de la otra.

                                   

                               3i                    2-i

 

(A)  2+i

3i

 

= (2+i)-(3i)  = -6i-3i2 = -6i-3(-1)

   (3i) (-3i)          -9i2         (-9)(-1)

 

= -6i +3 = -6i +3 = 1 - 2 i

        9          9     9     3   3

 

                        (B)3+2i

                             2-i

                       

                              = (3+2i)(2+i) = 6 + 7i +2i2 = 6+7i+2(-1)

                                   (2-i) (2+i)           4 - i2             4-(-1)

                              

                              = 4+7i = 4 + 7 i

                                    5        5     5

 

                        a+bi = (a+bi) (c-di) = (ac+bd) + (-ad+bc)i

                        c+di     (c+di) (c-di)                  c2+ d2

 

                                = ac+bd + -ad+bc i

                                    c2+ d2      c2+ d2

 

            (A) 3+i                         (B) 2 + 4i

                   2i                                3  + 2i

A - B = C       si y solo si         A=B+C

A ÷  B = C      si y solo si        A=BC              Bǂ 0, y C es único

 

                           

                        ( i)2 = ()2i2  = a(-1)= -a = x

y                           

                        (- i)2 = (-)2i2  = a (-1) = -a = x

 

                                   = i                    para a > 0    - 9 = i9 = 3i

 

 

 

 

Escribe en la forma a+bi:

 

(A)                      (B) 4 +                          (C)

                                                                       

 

Solución:

(A) = i= 2i

(B) 4 + = 4 + i = 4 +i ∙ 10 = 4 + 2i

(C) - 3 - √-7 = -3 - i 7 = -3 -√7

      2                  2           2     2

 

Escriba en forma de a + bi:

 

(A) √-16           (B) 5 - √-36      (C) -5 -√-2

                                                           2

 

(A) (3 +√-4) (2 √-9)     (B)     1  

                                          3-√ -4

 

Solución:

(A)  (3 +√-4) (2 - √-9) = (3 +i√4) (2-i√9)

                                  = (3 + 2i) (2 - 3i)

                                  = (6 -5i -6i2

                                                    =6 - 5i - 6 (-1)

                                  = 6 - 5i + 6

                                  = 12 - 5i

 

(B) 1          =    1

    3 - √- 4    3-i√ 4

 

                  = 1

                    3 -2i

                

                  =    1 (3+2i)       =     3 + 2i

                     (3-2i) (3+2i)         9 - 4i2

 

                 = 3 + 2i = 3+2i

                     9-4(-1)   9+4

                 

                 = 3 +2i = 3 + 2  i

                    13      13   13

 

En el ejemplo 4(A), evaluamos el producto  √- 4  √-9 y se obtuvo

 

                        √-4 √-9 = (2i) (3i) = 6i2= -6

 

Por otro lado,

                        √(-4)(-9) =  √36=6

 

                        √ -4  √-9 ≠ √ (-4)(-9)

 

 

√ab =  √a √b

 

 

(A) (4 -√-25) (3 +√-49)             (B) 1

                                                    2+√ -9

 

Simplifica:

 

(A) (3+2i)+(2-i)                                    (B)  (3+2i)-(2-i)

(C) (3+2i)(2-i)                                      (D) (2-3i)2 - (4i)2

 

 

Solución          (A) (3+2i) + (2-i) = 3 + 2i +2 - i

                                                     =5+i

 

                        (B) (3+2i) - (2-i) = 3 +2i - 2 + i

                                                    =1+3i

 

                        (C) (3+2i) (2-i) = 6+i-2i2

                                                  = 6+i-2(-1)

                                                  = 6+i+2

                                                  =8 +i

 

                        (D) (2-3i)2 -(4i)2 = 4-12i+9i2-16i2

                                                    =4-12i +9(-i)-16(-1)

                                                    =4-12i-9+16

                                                    =11-12i

 

                        (A) (3+2i) + (6-4i)                    (B) (3-5i)-(1-3i)

                        (C) (2-4i)(3+2i)                     (D) (3i)2 - (3-2i)2

 

Veamos a continuación un ejemplo de división de números complejos

 

                        (3+2i)(4+i) = 12 +11i+2i2

                        (4-i)    (4+i)          16 - i2  

 

                                              = 12+11i-2

                                                  16-(-1)

                                                       

                                               =10+11i

                                                     17

 

Lleva a cabo la división y expresa la respuesta en la forma  a + bi.

 

                        (A)           (B)

 

 

 

Respuesta:

 

A)    -   i

 

B)          +   i