Base y Dimensión

 

 

Definición:  Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, …, vn} forma una base para V si :

 

Ejemplos (para discusión):

 

1)

Sean  e1 = (1, 0)  y  e2 = (0, 1) vectores en R2.  Entonces forman una base para R2.

 

2)

Existe un teorema que señala que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn.  Por tanto, todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn forma una base en Rn,  En Rn se define: e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1).  A esta base se le llama la base “estándar” o “usual” de Rn.

 

3)

Los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 5) generan a R3 y son linealmente independientes.  Luego forman una base para R3.

 

4)

Sean (0, 1) y (1, 1) elementos de R2.  Estos vectores son linealmente independientes y generan a R2.  Por tanto, forman una basa en R2.

 

5)

Los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) no forman una base en R3.  Podemos encontrar a vectores en R3 que no se pueden expresar como combinación lineal de estos dos.  Por ejemplo, el vector (0, 0, 1) elemento de R3 no puede expresarse como combinación lineal de ellos dos:

(0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b (0, 1, 0)

             = (a, 0, 0) + (0, b, 0)

             = (a, b, 0) Lo cual implica que 1 = 0 y eso no es cierto.

 

6)

Los polinomios 1, x, x2, x3 son linealmente independientes en P3.  Estos polinomios también generan l espacio vectorial P3.  Por tanto, {1, x, x2, x3} es una base para P3.  En general, {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base para Pn.  A esta base se le conoce como la base usual de Pn.

 

7)

El conjunto de matrices generan a M22.  Si tenemos que:  vemos que

c1 = c2 = c3 = c4 = 0.  Por tanto, estas matrices son linealmente independientes.  Así que este conjunto de matrices forman la base usual para M22.

 

Teorema:  Si {v1, v2, v3, …, vn} es una base de V y si v є V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, c3,  c4, …, cn  tal que:

v = c1v1 + c2v2 + c3v3 + … + cnvn.

Teorema:  Si {u1, u2, u3, …, um}  y  {v1, v2, v3, …, vn} forman bases para el espacio vectorial V, entonces m = n, esto es, cualquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.

 

Ejemplo: Sea V = R2.  Notar que el conjunto de vectores {(1, 0), (0, 1)} y {(0, 1), (1, 1)} forman una base para R2 y tienen el mismo número de vectores cada conjunto.

 

Definición: La dimensión de un espacio vectorial V es el número de vectores en la base de V.  Si este número es finito, entonces V es un espacio vectorial de  dimensión finita.  De otra manera, V se llama el espacio vectorial de dimensión infinita.  Si V = {0}, entonces V es de dimensión cero.

 

Notación: Representamos la dimensión de V por dimV.

 

Nota: Si tenemos k vectores en Rn y k < n, entonces los vectores no generan a Rn.  Por el contrario, si k > n, entonces los k vectores son linealmente independientes.

 

Ejemplos:

 

1)

Como los n vectores linealmente independientes en Rn generan a Rn y forman una base en Rn, entonces dimRn = n.

 

a) dimR2 = 2 pues {(1, 0), (0, 1)} forman base en R2.

 

b) dimR3 = 3 pues {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forman base en R3.

 

c) dimR = 1, pues 1 es una base.

 

 

Nota: dim{0} = 0, pues {0} no tiene base, 0 no es linealmente independiente, no puede expresarse como combinación llineal.

 

2)

El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base para Pn.  Por tanto, dimPn = n + 1.

 

3)

En Mmn, sea Aij una matriz m x n con 1 en la posición ij y cero en las demás posiciones.  Entonces, Aij para i = 1, 2, 3, .., m  y  j = 1, 2, 3, …, n  forman una base para Mmn.  Y  dimMmn = m∙n.

Ejemplo: dimM22 = 2∙2 = 4, pues el siguiente conjunto de matrices constituyen la base de M22: .

 

Teorema:  Sea  S un subconjunto de vectores del espacio vectorial V de dimensión n:

 

            i)   Si S contiene menos n vectores, entonces no genera a V.

            ii)  Si S contiene más de n vectores, no es linealmente independiente ( es

                linealmente dependiente).

            iii) Si S contiene exactamente n vectores y es linealmente independiente o

                genera a V, entonces es una base para V.

 

Ejemplos:

 

  1. El conjunto {x, 1 + x, 1 – x} es linealmente dependiente en P1.  Pues el conjunto contiene tres (3) vectores y es un subconjunto del espacio vectorial de dimensión dos.  Es decir, contiene más n vectores por tanto, es linealmente dependiente (ii).

 

  1. El conjunto no genera a V = M23.  El conjunto contiene dos vectores en el espacio vectorial de dimensión seis.  Contiene menos de n vectores (i).

           

Ejercicios:

 

  1. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en R2?

a.  {(1, 3), (1, -1)}

b.  {(1, 2), (2, -3), (3, 2)}

c.  {(1, 3), (-2,6)}

 

  1. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en R3?

a.  {(1, 2, 0), (0, 1, -1)}

b.  {(3, 2, 2), (-1, 2, 1), (0, 1, 0}

 

  1. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de polinomios forman una base en P2?

a.  {-x2 + x + 2, 2x2 + 2x + 3, 4x2 – 1}

b.  {3x2 + 2x + 1, x2 + x + 1, x2 + 1}

 

  1. Halla la dimensión de la base para los siguientes espacios vectoriales:

a.  dimR4

b.  dim{0}

c.  dimP5

d.  dimM32