Determinantes

 

 

Definición:   Sea A una matriz de orden 2 x 2 de la forma:

 

 

El determinante de A denotado por detA ó │A│, se define como:

detA = a11a22 – a12a21.

 

Nota:  La matriz de A es invertible si y sólo si detA ≠ 0.

 

 

Definición:   Sea A una matriz de orden 3 x 3 de la forma:

 

 

Entonces el determinante de A se define como:

 

 

 

Existe otra forma de calcular el determinante de una matriz de orden 3 x 3.  Es de la siguiente forma.

 

 

 detA  =  a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a22a23a11 – a33a21a12

 

Ejemplo:  Halla el determinante de la matriz A en el ejemplo anterior.

 Nota:  Este método no aplica para n ≠ 3.

 

 

Ejercicio:  Halla el determinante de cada una de las siguientes matrices:

 

 

 

Definición:  El menor de un elemento dado de un determinante, es el determinante de los elementos que quedan después de eliminar la fila y la columna donde está ese elemento.  Por ejemplo:  el menor del elemento a11 en la matriz:

 

 

 

Definición:  El cofactor de un elemento de un determinante es el menor de dicho elemento provisto del signo que se da al producto de ese elemento y su menor en el desarrollo del determinante.  Los cofactores de a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, y a33 se representan por A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, y A33.   Si el elemento dado está en la fila i y la columna j entonces el cofactor es igual a (-1)i + j  veces el menor.  Por ejemplo, el cofactor de a13, denotado por A13 en :

 

 

 

 

Nota:  El método del menor y el cofactor aplican a matrices de orden n x n.

 

 

Teorema:  Podemos calcular el determinante de A, donde A es una matriz de orden n x n, expandiendo por cofactores cualquier fila o columna de A.

 

Ejemplo:

 

 

 

 

 

 

Halla el determinante de A.

Ejercicio:  Halla el determinante de la siguiente matriz expandiendo por cofactores la última columna de A:

 

Definición:  Una matriz cuadrada es una matriz triangular superior si todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.  Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada cuyos elementos por encima de la diagonal principal son todos ceros.  Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos ceros.

 

Ejercicio:  Identifica las siguientes matrices como matriz diagonal superior, matriz diagonal inferior o matriz diagonal:

 

 

 

 

Teorema:  Sea A = (aij) una matriz triangular superior o matriz triangular inferior, entonces el determinante de A es:  detA = a11 ∙ a22 ∙ a33 ∙ … ∙ ann.  Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes diagonales.

 

Ejemplos:  Calcular el determinante para cada una de las siguientes matrices triangulares: