FUNCIONES

 

Intuitivamente la palabra función se refiere a un asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y un conjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que es su edad en años.

 Estudiante

Edad

Omar

19

Teresa

18

Miguel

21

Sonia

18

Andrés

20

 En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le llama función.

Definición: Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una correspondencia que le asigna a cada elemento x de A un único elemento y en B. Al conjunto A se le llama dominio de la función y al conjunto B el recorrido de f que consiste de todos los valores posibles f(x), donde x está en A.

 En el ejemplo anterior el dominio es {Omar, Teresa, Miguel, Sonia, Andrés} y el recorrido es {18,19,20,21}. La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto.

 Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Sonia) = 18, f(Miguel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x.

 

 

 

 

Definiciones:

1) Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}. La gráfica es una recta horizontal.

2) Una función f es una función polinómica si,

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

donde a0,a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.

Ejemplos: f(x) = x2 - 2x -3; g(x) = 5x + 1; h(x) = x

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.

3) Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo: f(x) = 2x - 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0,-1). Su gráfica es una recta ascendente.

4) Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a>0 y abre hacia abajo si a<0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

.

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo: f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

5) Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

para los polinomios f(x) y g(x).

 Ejemplos:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales, sin embargo el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

 Ejemplos para discusión:

1) Para cada una de las siguientes funciones identifica el tipo de función, halla el dominio y recorrido, y dibuja su gráfica.

                         

 2) Considera f(x) = 2x2 + 4x + 1, halla:

 a) f(-2) =

 b) f(3x) =

 c) f(x - 1) =

 d) f(x + Δx) =

 

Definición sobre la suma, resta, multiplicación y división de funciones (algebra de funciones):   Sean  f  y  g  dos funciones  cualesquiera.   Se define f ± g, f · g, y  f/g  como:

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Ejemplo para discusión:  Sea f(x) = 3x3 + 7  y  g(x) = x2 – 1.  Halla la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones.

 

Definición: Sean f, g funciones tales que el recorrido de g está en el dominio de f. La función cuyos valores vienen dados por f(g(x)) se llama la composición de f con g.

 Ejercicio para discusión: Sean f(x) = 2x - 3 y g(x) = x2 + 1, halla:

 1) f(g(x)) = 3) f(g(2)) =

 2) g(f(x)) = 4) g(f(-1)) =