APLICACIONES DE LA DERIVADA

 

Tema: Funciones crecientes y decrecientes

Observa la siguiente gráfica y señala en qué intervalos ella crece y decrece.

 

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Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

 El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

  

Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).

iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).

 

 

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

 A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:

1) Halla f’(x) (la derivada de f).

2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).

6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

 Ejemplos para discusión: Constuye la gráfica de cada una de las siguientes funciones usando la guía de los seis pasos.

 Ejercicio de práctica: Usa la guía para construir la gráfica de f(x) = 2x3 + 3x2 + 4.

 Asignación: Halla los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construye la gráfica de:

 

Tema: Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.

 Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

 Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.

 Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.

 A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

 Notas:

1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.

2) Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.

Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b].

 A continuación una guía para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalor [a,b]:

1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.

2) Evalua cada c en la función para obtener los puntos críticos.

3) Halla f(a) y f(b).

4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3.

 

 Ejemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos absolutos para cada una de las funciones en el intervalo indicado.

1) f(x) = x3 – 12 x;   [-3, 5]

2) g(x) = 5 – 6x2 – 2x3;  [-3, 1]

Así que los valores máximos y mínimos de una función f en un intervalo [a,b] son los valores mayores y menores de la función en dicho intervalo.

 

Tema: Extremos Relativos (Máximos y Mínimos Relativos ó Máximos y Mínimos Locales)

Subtema: Criterio de la Primera Derivada

Definición: Sea f una función en c:

i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).

ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

 Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:

i) f’(c) = 0, ó

ii) f’(c) no está definida

Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.

 Notas:

1)  El teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimo relativo enx = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.

2)  Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

 Ejemplos para discusión:

  1. Halla los extremos relativos de la f(x) = 3x5 - 20x3 en el intervalo (-5,5) y construye la gráfica. 
  2. Construye la gráfica de f(x) = abs(x2 - 1) en una calculadora gráfica en el intervalo (-3,3) y señala cuáles son los máximos y mínimos relativos.

 Ejercicio de práctica: Halla los extremos relativos de f(x) = x3 - 3x2 + 2 y construye la gráfica.

 Otros ejemplos para discusión:

 1) Sea f’ (derivada de f) la gráfica a continuación:

 

 

 

 

Observando la gráfica de f’ contesta las siguientes preguntas respecto a  f:

 a) ¿En qué intervalo f es creciente?

b) ¿En qué intervalos f es decreciente?

c) ¿Para qué valor de x la función f tiene un máximo relativo?

d) ¿Para qué valor de x la función f tiene un mínimo relativo?

 

2) Considera la gráfica de f’ a continuación y dibuja la gráfica de f en el mismo plano.

 

Tema: Concavidad

Subtema: Criterio de la Segunda Derivada

 La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5). 

 

 

 

 

 

Figura 1

 

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

 

 

Ejemplos:

1)

Figura 2

 Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (-5,5).

 2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5).

 

Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

 Ejemplos:

 1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,

esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

 2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,

esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

 Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

 Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto (0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a la derecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia es estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.

 Ejemplos para discusión:

1)     Halla los puntos de inflexión de la gráfica de f(x) = x3 - 3x2.

2)     Discute la concavidad y punto de inflexión para f(x) = x4.

3)     ¿Para qué valores de x tiene f(x) = sen x + cos x punto(s) de inflexión en el intervalo (0, 2π)?

 

Criterio de la Segunda Derivada

Teorema: Suponga que f" existe en algún intervalo (a,b) que contiene a c y que

f’(c) = 0, entonces:

i) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo relativo

ii) si f"(c)<0, f(c) es un máximo relativo

Ejemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos relativos para cada una de las siguientes funciones:

 1) f(x) = x3 - 3x2

2) f(x) = x4

Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y no provee información. De manera que, se usa entonces el criterio de la primera derivada para determinar los máximo y mínimos relativos.

 En resumen, para usar el criterio de la segunda derivada, si f es una función continua en el intervalo (a, b): primero se hallan los puntos críticos, luego si:

i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de la primera derivada.

 

Ejercicio de práctica: Halla los máximos y mínimos relativos de f(x) = 8x2 - x4 con el criterio de la segunda derivada. Dibuja la gráfica.