NUMEROS COMPLEJOS

 

 

 

Introducción

 

¿Qué da origen a nuestro sistema de números?  Las distintas necesidades permiteron su desarrollo..  Los números naturales para contar, los números racionales para expresar partes fraccionarias y razones.  Los números negativos para expresar pérdidas, débitos y temperaturas bajo cero.  Cuando se observó que no se podia expresar un tamaño exacto con un número racional aparecieron los números irracionales.  Luego el conjunto de los números racionales en unión a los números irracionales formaron el conjunto de números reales.  Más tarde surgió la necesidad de expandir el sistema de números reales con el conjunto de los números complejos.

 

Anteriormente trabajamos con la solución de una ecuación lineal (de grado uno).  En esa ocasión vimos que las ecuaciones lineales tienen soluciones reales.  Más adelante estudiaremos las ecuaciones cuadráticas (de grado dos).  Por ejemplo, x2 = 9 es una ecuación cuadrática  que   tiene  dos  soluciones   reales,   estas  son:  -3   y   3.   Pues (-3)2 = 9  y  (3) 2 = 9.  Sin embargo, la ecuación cuadrática x2 = -1 no tiene solución real.  Pues no existe  un  número real que al multiplicarse  por si mismo se obtenga el valor de  -1.

 

Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x2 = -1.  Como ningún número real es la solución de esta ecuación,  se define a un número imaginario i  para ser la solución de esta ecuación.

 

 

Definiciones

 

Un número imaginario i se define como:

 

El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a  y  b son números reales.

 

Ejemplos:    2 + 3i   y    5 - 2i

 

En el número complejo a + bi,  a se llama parte real  y b se llama la parte imaginaria.  A la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejo.  Pero  para facilitar la notación usamos algunas variaciones  de esa forma general.  Si a = 0 entonces se omite la parte real y sólo se escribe la parte imaginaria.  Si b = 0  entonces sólo se escribe la parte real  y el número a es un número real.  Si b contiene un radical entonces se escribe i antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical.

 

Ejemplos:

 

 

 

Operaciones con los números complejos

 

Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias.  La sustracción se hace similarmente.  En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.

 

Ejemplos para discusión en clase:

 

1)  (4 + 5i) + (1 - 7i) =

2)  (9 - 2i) - (6 + 5i) =

3)  2(5 + 3i) =

4)  3i(1 + 4i) =

5)  (3 - 2i)(1 + 5i) =

 

 

Definición: Los números complejos a + bi  y  a - bi  se llaman conjugados complejos uno del otro.  Por ejemplo:  el conjugado de 5 + 3i  es  5 - 3i.  El conjugado de 3 - 2i  es 3 + 2i.

 

Teorema:  Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi, es el número real a2 + b2.  Esto es: (a +bi)(a - bi) = a2 + b2.

 

Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.

 

Ejemplos para discusión en clase:

 

 

 

 

 

 

Ejercicio de práctica:  Efectúa las siguientes operaciones con números imaginarios.