Derivación de Funciones Exponenciales

 

 

 

 

 

 

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 

 

 Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

 

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

1) y = e 2x - 1

3) y = x3ex

Ejercicio de práctica: Deriva:

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

 

1)    f(x) = e2x

3) 

4)    g(x) = (e –x + e x)3

5)    y = x2 e-x

6)    y = x2 ex – 2x ex + 2 ex

7)    f(x) = 4x

8)    g(x) = 5 x – 2

9)    h(x) = 2e x + 1

10)   f(x) = 4 –x + !

 

Respuestas:

 

1)   f’(x) = 2e2x

3) 

4)   g’(x) = 3(ex – e-x)(e-x + ex)2

5)   y’ = -xe-x(x – 2)

6)   y’ = x2 ex

7)   f’(x) = (ln 4) 4x

8)   y’ = (ln 5) 5x – 2

9)   h’(x) = 2e x+1

10) f’(x) = -(ln 4) 4 –x + 1