ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

 

 

Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente.  De manera que el propósito será un repaso de  las mismas.

 

Definición:  Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general. 

Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

 

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

y = -3x + 5  en la forma general es 3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es 2x + y = 0

 

El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta.  Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1)  y  (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12?  La respuesta a esta pregunta la podemos hallar  sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada.  Veamos:

 

1)  Si  3x - 4y = 12  entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10.  Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.

 

2)  Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12.  Por tanto, el par odenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.

 

 

Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables

 

Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas.  Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través de interceptos.

 

La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x.  Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero.  El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).

 

La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y.  Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero.  El intercepto en y se expresa de la forma (0, y).

 

Ejemplos para discusión en clase:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.

 

1)  x - y = 3

2)  2x + 3y = 6

 

Ejercicio de práctica:  Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:

 

1)  3x + 5y = 15

2)  3x - 4y = 12

 

Pendiente de una recta

 

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

 

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

 

Ejemplo para discusión en clase:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

 

1)  (-3,4) y (6, -2)

2)  (-3, -4) y (3, 2)

3)  (-4, 2) y ( 3, 2)

4)  (2, 4) y (2, -3)

 

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

 

Pendiente

Tipo de recta

positiva

recta ascendente

negativa

recta descendente

cero

recta horizontal

no definida

recta vertical

 

Ejercicio de práctica:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

 

1)  (-3 , -3) y (2, -3)

2)  (0, 4) y (2, -4)

3)  (-2, -1) y (1, 2)

4)  (-3, 2) y (-3, -1)

 

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto

 

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 

 

Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).

 

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cmabiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).

 

Nota:  Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.  Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación de una recta ascendente que pasa por el origen.

 

Ejemplos para discusión en clase:

 

1)  La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4).  ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?

 

2)  Determina la pendiente y el intercepto en y de la recta cuya ecuación es 2x + y = 1.  Dibuja la gráfica.

 

Ejercicio de práctica:  Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 2  y el intercepto en y en (0, 5).

 

Ecuaciones de la forma punto-pendiente

 

Una ecuación de una recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m es:

y - y1 = m(x - x1).

 Conocida por la ecuación punto-pendiente.

 

Esta forma de ecuación nos permite hallar la ecuación de la recta cuando se tiene:

a)  el valor de la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta, o,

b)  dos puntos de la recta.  Para este caso, se halla primero la pendiente y luego se utiliza la forma punto-pendiente con cualquiera de los puntos dados.

   

Ejemplos para discusión en clase: 

 

1)  Halla la ecuación de la recta con pendiente -2 y pasa por el punto (1, 4).   Expresa la ecuación de la forma general.

 

2)  Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, -3) y (3, 7).  Expresa la ecuación de la forma pendiente-intercepto.

 

Ejercicio de práctica:

 

1)  ¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente 1/2 y pasa por el punto (8, 5)?  Expresa la ecuación de la forma general.

 

2)  Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (4, -7)  Expresa la ecuación de la forma pendiente-intercepto.

 

 

Rectas verticales y horizontales

 

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.  Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

 

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante.  La pendiente de una recta horizontal es cero.

 

Nota:  En la página 124 del texto aparece un resumen en la Tabla 2  sobre las diferentes formas  de ecuaciones.

 

Ejercicio de práctica:  Construye la gráfica de cada ecuación:

 

1)  x = -2

2)  y =  5

 

 

Rectas paralelas y perpendiculares

 

¿Recuerdas las rectas paralelas y perpendiculares estudiadas en geometría?  Las rectas paralelas son aquellas que están en un mismo plano y nunca se intersecan.  Las rectas perpendiculares son dos rectas que se intersecan formando cuatro ángulos de 90 grados.

 

Dadas dos rectas no verticales L1  y  L2  con pendientes  m1  y  m2, respectivamente, entonces:

 

 

Ejemplo para discusión en clase:

 

Dada la ecuación de la recta 3x - 2y = 5 y el punto (-3, 5).  Halla la ecuación de una recta que pase por el punto (-3, 5) que sea paralela a la ecuación dada y otra  ecuación de una recta que sea perpendicular .

 

Ejercicio de práctica:  

 

Dada la ecuación de la recta 4x + 2y = 3 y el punto (2, -3) halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que sea:

 

1) paralela a 4x + 2y = 3

2) perpendicular a 4x + 2y = 3

 

 

Distancia entre dos puntos

 

Sean  (x1, y1)  y (x2, y2)  dos puntos.  La distancia entre esos dos puntos está dada por:

 

 

Ejemplos:  Halla la distancia entre los puntos:

 

1)      (3,1)  y  (-5,6)

2)      (-5,0)  y  (-4,-5)

 

Ejercicio de prática:  Halla la distancia entre los puntos (-4,-5)  y  (4,-1).