ECUACIONES LINEALES EN DOS
VARIABLES
Las
definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas
en cursos tomados anteriormente. De
manera que el propósito será un repaso de
las mismas.
Definición: Una
ecuación de la forma ax+ by = c
donde a, b y c son constantes con
a diferente de cero, b diferente de cero, x, y
variables se conoce como una ecuación
lineal en dos variables de forma general.
Ejemplos: 2x + y = 4;
3x - 4y = 9.
Las
ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x
son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la
forma general. Lo podemos lograr
cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que:
y = -3x + 5 en la forma general
es 3x + y = 5
y = -2x en la forma general
es 2x + y = 0
El
conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables
es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta. Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1) y
(8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12? La respuesta a esta pregunta la podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas
x y y en la ecuación dada. Veamos:
1) Si
3x - 4y = 12 entonces 3(5) -
4(1) = 15 - 5 = 10. Por tanto, el par
ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 -
12 = 12. Por tanto, el par odenado (8,
3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12.
Gráfica de ecuaciones lineales en
dos variables
Las
gráficas de las ecuaciones lineales son líneas
rectas. Una forma de construir
gráfica de líneas recta es a través de interceptos.
La
coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x
se llama intercepto en x. Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero. El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0).
La
coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y
se llama intercepto en y. Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero. El intercepto en y se expresa de la forma (0, y).
Ejemplos
para discusión en clase: Construye la
gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos.
1) x - y = 3
2) 2x + 3y = 6
Ejercicio
de práctica: Construye la gráfica de
cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos:
1) 3x + 5y = 15
2) 3x - 4y = 12
Pendiente de una recta
Es
el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con
respecto al cambio en x.
Si
una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2,
y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
Esto
es,
Ejemplo
para discusión en clase: Dibuja la
recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
1) (-3,4) y (6, -2)
2) (-3, -4) y (3, 2)
3) (-4, 2) y ( 3, 2)
4) (2, 4) y (2, -3)
Con
los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la
pendiente de una recta:
|
Pendiente |
Tipo de
recta |
|
positiva |
recta ascendente |
|
negativa |
recta descendente |
|
cero |
recta horizontal |
|
no definida |
recta vertical |
Ejercicio
de práctica: Halla la pendiente de la
recta que pasa por cada par de puntos.
1) (-3 , -3) y (2, -3)
2) (0, 4) y (2, -4)
3) (-2, -1) y (1, 2)
4) (-3, 2) y (-3, -1)
Ecuaciones de la forma
pendiente-intercepto
Ecuaciones
de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como
ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.
Por
ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está
expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).
La
ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto. Pero lo podemos hacer cmabiando términos de
posición, esto es, y = -x + 2. Donde la
pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).
Nota: Una ecuación de la
forma y = mx representa una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación
de una recta ascendente que pasa por el origen.
Ejemplos
para discusión en clase:
1) La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y
es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la
recta de la forma pendiente-intercepto?
2) Determina la pendiente y el intercepto en y
de la recta cuya ecuación es 2x + y = 1.
Dibuja la gráfica.
Ejercicio
de práctica: Escribe la ecuación de la
recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 2 y el intercepto en y en (0, 5).
Ecuaciones de la forma
punto-pendiente
Una
ecuación de una recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m es:
y - y1 = m(x - x1).
Conocida por la ecuación punto-pendiente.
Esta
forma de ecuación nos permite hallar la ecuación de la recta cuando se tiene:
a) el valor de la pendiente y las coordenadas
de un punto en la recta, o,
b) dos puntos de la recta. Para este caso, se halla primero la
pendiente y luego se utiliza la forma punto-pendiente con cualquiera de los
puntos dados.
Ejemplos
para discusión en clase:
1) Halla la ecuación de la recta con pendiente
-2 y pasa por el punto (1, 4). Expresa
la ecuación de la forma general.
2) Halla la ecuación de la recta que pasa por
los puntos (1, -3) y (3, 7). Expresa la
ecuación de la forma pendiente-intercepto.
Ejercicio
de práctica:
1) ¿Cuál es la ecuación de la recta con
pendiente 1/2 y pasa por el punto (8, 5)?
Expresa la ecuación de la forma general.
2) Halla la ecuación de la recta que pasa por
los puntos (-5, 2) y (4, -7) Expresa la
ecuación de la forma pendiente-intercepto.
Rectas verticales y horizontales
La
ecuación de una recta vertical se
expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la
pendiente no está definida.
La
ecuación de una recta horizontal se
expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es
cero.
Nota: En la página 124
del texto aparece un resumen en la Tabla 2
sobre las diferentes formas de
ecuaciones.
Ejercicio
de práctica: Construye la gráfica de
cada ecuación:
1) x = -2
2) y =
5
Rectas paralelas y
perpendiculares
¿Recuerdas
las rectas paralelas y perpendiculares estudiadas en geometría? Las rectas paralelas son aquellas que están
en un mismo plano y nunca se intersecan.
Las rectas perpendiculares son dos rectas que se intersecan formando
cuatro ángulos de 90 grados.
Dadas
dos rectas no verticales L1
y L2 con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces:
Ejemplo
para discusión en clase:
Dada
la ecuación de la recta 3x - 2y = 5 y el punto (-3, 5). Halla la ecuación de una recta que pase por
el punto (-3, 5) que sea paralela a la ecuación dada y otra ecuación de una recta que sea perpendicular
.
Ejercicio
de práctica:
Dada
la ecuación de la recta 4x + 2y = 3 y el punto (2, -3) halla la ecuación de la
recta que pasa por el punto dado y que sea:
1)
paralela a 4x + 2y = 3
2)
perpendicular a 4x + 2y = 3
Distancia entre dos puntos
Sean (x1,
y1) y (x2, y2) dos puntos.
La distancia entre esos dos puntos está dada
por:
Ejemplos: Halla la distancia
entre los puntos:
1)
(3,1) y (-5,6)
2)
(-5,0) y (-4,-5)
Ejercicio de prática: Halla la
distancia entre los puntos (-4,-5)
y (4,-1).