FUNCIONES EXPONENCIALES

 

 

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x2   y   g(x) = 2x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

 

 

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

 

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

 

1) f(x) = 2x                                  

 

 

 

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

 

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

 

 

Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

 

1) Leyes de los exponentes:

   

 

2)  ax = ay  si y sólo si  x = y

 

3)  Para x diferente de cero, entonces ax = bx  si y sólo si  a = b.

 

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

 

1)  2x = 8

2)  10x = 100

3)  4 x - 3 = 8

4)  5 2 - x = 125

 

Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:

 

1)  2x = 64

2)  27 x + 1 = 9

 

 

 

La función exponencial de base e

 

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). 

 

 

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = ex  define a la función exponencial de base e.

 

 

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

 

 

La gráfica de f(x) = ex  es:

 

 

 

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

 

 

La función  f(x) = ex  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = ex  está entre f(x) = 2x  y  f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:

 

 

 

 

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

 

Ejemplos:  Simplifica.

 

 

Ejemplo:  Halla el valor de x en  e x + 1  =  e 3x - 1

 

Práctica:

 

1)  Simplifica:  (e 3x + 1) (e 2x – 5)

 

2)  Halla el valor de x en  e3x – 4 =  e2x

 

 

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x  es: