FUNCIONES POLINOMICAS

Funciones de grado mayor o igual a dos

 

 

 

Introducción

 

Anteriormente estudiamos las siguientes funciones:

 

f(x) = b,  función constante

f(x) = mx + b,  función lineal

f(x) = ax2 + bx + c,  donde a es diferente de cero,  función cuadrática

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d,  donde a es diferente de cero,  función cúbica

 

 

Definición:  La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 ,  donde an es diferente de cero, se conoce como una  función  polinómica  de  n  ésimo  grado.    Los números

an, an-1, ..., a1,a0  se llaman los coeficientes de la función.

 

 

Nota:  Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado.  La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.

 

 

Definición:  Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.

 

Ejemplo:  Considera la función f(x) = x2 - 4  ilustrada gráficamente:

 

 

 

 

Muestra que las intersecciones con el eje x en  -2  y  en 2  son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0  y  f(2) = (2)2 - 4 = 0.

 

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3   y  x = 1 son las soluciones o raíces.

 

 

Nota:     Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de  y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.

 

 

División Sintética

 

Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema.  Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.

 

Ejemplos para discusión: 

 

 

 

Ejercicio de práctica:

 

 

En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de la división sintética.

 

Teorema del residuo:  Si  R  es el residuo después de dividir el polinomio  P(x)  entre

 x - c, entonces P(c) = R.

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  Si P(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 6, halla P(3).

2)  Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5,  halla P(-3).

 

Estos valores también se pueden obtener evaluando directamente en el polinomio.

 

Ejercicio de práctica:  Si P(x) = 3x4 - 16x2 - 3x + 7,  halla P(-2).