FUNCIONES RACIONALES

 

 

Definición:  Si P(x)  y  Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

 

 

Ejemplos:

 

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

 

Ejemplo para discusión:  ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

 

 

 

Teorema:  Sea f una función racional definida de la forma:

 

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios.  Si a es un número real que Q(a) = 0 y  P(a) es diferente de cero, entonces  la recta  x = a  es  una  asíntota  vertical  de la gráfica de  y = f(x).

 

 

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

 

 

 

Teorema:  Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

entonces:

 

1) Para m < n,  la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta  y = am/bn, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n,  no hay asíntotas horizontales.

 

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

 

 

 

 

Gráfica de funciones racionales

 

 Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.

 

Ejemplos para discusión:  Dibuja la gráfica de:

 

 

Ejercicio de práctica:  Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones.  Dibuja la gráfica.

 

 

Teorema:  Si f es una función definida de la forma:

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

 

donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x).  La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.

 

Ejemplo para discusión:  Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

 

Dibuja la gráfica.

 

 

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.