FUNCIONES RACIONALES

Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:

donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).

Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

entonces:

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta y = a_m/b_n, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

Gráfica de funciones racionales

Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.

Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.

Teorema: Si f es una función definida de la forma:

donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.

Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.