ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

 

 

 

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales, tales como:  9x – 4 = 32;   5(2 – y) = 3(y – 2).  Ahora estudiaremos otro tipo de ecuación, ecuaciones de segundo grado también conocida por ecuaciones cuadráticas.

 

 

Definición:  Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b y  c son números reales y a es un número diferente de cero.

 

Ejemplos:  x2 – 9 = 0;  x2 – x – 12 = 0;  2x2 – 3x – 4 = 0

 

 

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.  El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.  En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada y la fórmula cuadrática.

 

 

Factorización:  Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  x2 – 4x = 0

2)  x2 – 4x = 12

3)  12x2 – 17x + 6 = 0

 

 

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que conocer otros métodos.

 

 

Raíz cuadrada:  Este método require el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

 

Propiedad de la raíz cuadrada:  Para cualquier número real a, la ecuación x2 = a es equivalente a:

Ejemplos para discusión:

 

1)  x2 – 9 = 0

2)  2x2 – 2 = 0

3)  x2 + 4 = 0

 

 

Fórmula cuadrática:

 

La solución de una ecuación cuadrática  ax2 + bx + c = 0  con  a  diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

 

 

La expression  b2 – 4ac  conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática.  La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

 

 

Valor de:

b2 – 4ac

 

Tipo de solución

positivo

dos soluciones reales

cero

una solución real

negativo

dos soluciones imaginarias

 

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  x2 + 8x + 6 = 0

2)  9x2 + 6x + 1 = 0

3)  5x2 – 4x + 1 = 0

 

 

Nota:  Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática.

 

 

Ejercicio:  Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones por el método indicado:

 

1)  x2 – x – 20 = 0     (factorización)

2)  2x2 + 5x – 3 = 0   (factorización)

3)  x2 – 18 = 0           (raíz cuadrada)

4)  x2  + 16 = 0          (raíz cuadrada)

5)  x2 + 7x + 4 = 0     (formula cuadrática)

6)  9x2 + 6x = 1         (fórmula cuadrática)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nombre: _____________________________

 

Fecha: ___________________

 

Ecuaciones Cuadráticas

 

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.

1.  

x2 - 5x = 0

 

 

 

 

 

 




2.  

x2 - 10x - 11 = 0



3.  

x2

 + 

12x

  =  

-20

 

  




4. 

x2 – 25 = 0

5.  

x2 +4x – 21 = 0 

 

 

 

 

 

 




6.  

6x2 + 7x + 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 




 

 

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática.

 

 

 

 

 

 

7. 5x2 + 9x + 4 = 0

 

 

 

8. 6x2 – 7x = 4

 

 

 

 

 

9. x2 +2x + 1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

10. 36x2 -24x = -4

 

 

11. –x2 + 4x – 5 = 0

 

12. 2x2 - 6x = -5

 

 

 

 

 

 

 

 

Editado por Prof. Nilsa Toro