ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

 

 

Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c

 

Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.  Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto.  Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3.  Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3  es  -3  y  3. 

 

Las soluciones  de una  ecuación de la forma │ax + b│= c,  donde  a ≠ 0  y  c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen:  ax + b = c  ó  ax + b = -c.

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  │3x - 4│ = 5

 

 

3)  │3x - 1│+ 2 = 5

 

4)  │x + 2│ = │x - 7│

 

Ejercicio:  Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

 

1)  │3x - 4│= 23

 

2)  │2x + 1│ + 3 = 8

 

 

4)  │x - 6│ = │5x + 8│

 

 

 

 

 

Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c

 

¿Qué significa │x│< 2 ?   Significa que x  es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica.  La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación.  Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.

 

 

 

 

 

 

Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2  y  2.  Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2  y 2, esto es, -2 < x < 2.

 

 

Propiedad:  Si a es un número real positivo  y  │x│< a,  entonces  –a < x < a.

 

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  │x│< 3

 

2)  │x + 5│ ≤ 10

 

3)  │3x - 2│≤ 8

 

4)  │2(x – 1) + 4│ < 8

 

 

Ejercicio:  Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones:

 

1)  │x│≤ 5

 

2)  │x - 6│ < 15

 

3)  │2 + 3(x – 1)│< 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c

 

 

¿Qué  significa │x│> 2 ?  Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica.  Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2.  También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2.  Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.

 

 

 

 

 

 

De manera que la solución de │x│> 2  es  x < -2  ó  x > 2.

 

 

Propiedad:  Si a es un número real positivo y  x│> a,  entonces x < -a  ó  x > a.

 

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  │x│≥ 3

 

2)  │x - 4│> 5

 

3)  │2x - 3│> 5

 

 

 

Ejercicio:  Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.

 

1)  │x│> 5

 

2)  │x + 6│> 2

 

3)  │-5x - 2│>13