GRAFICA DE FUNCIONES

 

 

 

Dominio y recorrido

 

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas  en el eje y.   Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

 

Ejemplo para discusión:

 

Determina el dominio y el recorrido de la función f  cuya gráfica es:

 

 

 

 

Ejercicio:  Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

 

 

 

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

 

Definición:  Sea I el intervalo en el dominio de una función f.  Entonces:

 

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b< a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

 

 

 

 

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

 

 

 

 

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

 

 

 

 

La función h(x) = 2 es una función constante en los números reales.

 

 

 

 

 

 

 

 

La función f(x) = x2  es una función decreciente en el intervalo (-, 0] y creciente en el intervalo de [0, ).

 

 

Función constante

 

Una función constante es una función de la forma f(x) = b.  Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto  de los  números reales  y  el  recorrido el conjunto {b}.

 

 

En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}.  La pendiente (m)  es cero.

 

 

Función identidad

 

La función identidad es la función de la forma f(x) = x.  El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.

 

 

 

 

Función lineal

 

 

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m  y  b son números reales.  La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal.  Tampoco su gráfica es una recta vertical.  El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. 

 

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales.  El intercepto en y es (0,b).

 

 

 

 

 

 

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales.  El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.  El intercepto en y es (0,4).

 

 

 

 

 

 

Ejercicio:  Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de  f(x) = -3x + 6.  Luego dibuja la gráfica.

 

 

Nota:  Una función de la forma f(x) = mx  también es una función lineal pero su intercepto en y es cero.  Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

 

 

Función cuadrática

 

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b  y  c son números reales.  La gráfica de una función cuadrática es una parábola.  Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo.  El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.  El vértice de la parábola se determina por la fórmula:

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = x2  es una función cuadrática  cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0.  El vértice es (0,0).  El dominio es el conjunto de los números reales  y  el recorrido es cero y los reales positivos.  La gráfica de una función es cóncava hacia arriba.

 

 

 

 

 

f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0.   El vértice es (0,0).  El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero.  La gráfica de una función es cóncava hacia abajo.

 

 

 

Nota:  El  eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.

 

 

Ejemplos para discusión:  Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio,  recorrido y eje de simetría.  Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:

 

1)  f(x) =   x2 - 2x - 3

2) g(x) = -x2 - 2x + 3

 

Ejercicio: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido.  Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente.  Dibuja la gráfica.  Para las siguientes funciones:

 

1) f(x) = x2 – 3x

2) g(x) = -x2 + x + 2

 

 

Función valor absoluto

 

La función  es la función valor absoluto de x.  El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos.  Su gráfica es:

 

 

 

 

Función dominio partido

 

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio.  Por ejemplo:

 

 

 

 

 

El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥).  El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥).  Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f.  Debido a  la separación  de la gráfica  en  x = 0, se  dice  que  f  es discontinua en  x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

Función radical

 

La función  es la función raíz cuadrada.  Su gráfica es como sigue:

 

 

 

Su dominio es [0, ¥)  y  el recorrido es [0, ¥).

 

 

 

 

Ejercicio: Identifica cada una de las siguientes funciones:

 

 

 

 

1) ___________________________

 

 

 

4) ________________________

 

 

 

 

2) ____________________________

 

 

5) _______________________

 

 

 

3) ___________________________

 

 

 

6) _________________________

 

 

 

 

7) ________________________

 

 

 

 

 

9) ______________________

 

 

8) ______________________

 

 

 

 

10) ______________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Preparado por Prof. Nilsa Toro

Mate.1511 Precálculo I