Independencia Lineal y Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos

 

 

Definición:  Un conjunto de vectores v1, v2, v3, …, vn es linealmente dependiente   si  existen  escalares  c1, c2, c3, …, cn  no  todos ceros  tal que c1v1 + c2v2 + c3v3 + … +cnvn = 0.

 

 

Definición: Un conjunto de vectores v1, v2, v3, …, vn es linealmente independiente  si  no   es  linealmente   dependiente.     En   otras   palabras,  v1, v2, v3, …, vn     es    linealmente    independiente   si    para   la    ecuación c1v1 + c2v2 + c3v3 + … +cnvn = 0, tenemos que c1 = c2 = c3 = … = 0.

 

Teorema:  Dos vectores son linealmente dependientes  si y sólo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro vector.

 

Teorema:  Sea A una matriz n x n.  Entonces detA ≠ 0  si y solamente si las columnas son linealmente independientes.

 

 

Ejemplos (para discusión en clase):

 

Teorema:  Un conjunto de nm – vectores es siempre linealmente dependiente si n > m.

 

 

 

Ejercicio:  Determina si el conjunto de vectores dado es linealmente independiente o dependiente:

 

 

5)  (1, 2), (0, 2), (1, 0)  y  (-1, 1)

6)  (1, 0, -1),  (0, 1, 2)  y  ( 1, 1, 3)

7)  (1, 2, 3), (-1, 0, 1)  y  (0, 1, 2)

 

 

 

Respuestas: 

 

1) independientes

3) dependientes

5) dependientes

7) dependientes

2) dependientes

4) independientes

6) independientes

8) independientes