INTEGRACION 

 

Tema: La integral indefinida

Subtema: Antiderivadas

La matemática contiene varios pares de operaciones inversas, como: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a un exponente y extracción de una raíz y otras.  Anteriormente estudiamos la derivación,  y su inversa es la antiderivación.  

El cálculo se divide en dos categorías.  El cálculo diferencial que incluye la derivada, el hallar máximos y mínimos relativos.  Vimos la interpretación geométrica de la derivada: la pendiente de una curva en un punto P, es la pendiente de la recta tangente en ese punto.  Así también la interpretación física de la derivada: velocidad.   El cálculo integral  se utiliza para hallar área, volumen, predecir el tamaño poblacional en el futuro y costo de vida en el futuro.  El cálculo integral  geométricamente  está relacionado con calcular área.

Ejercicio:  Dibuja  la  gráfica  de  f(x) = 2x  en  el  plano  provisto.   ¿Qué función tiene a f(x) = 2x como derivada? ____________ Dibújala en el mismo plano. ¿Será esa la única función o hay otras que tienen a f(x) = 2x como derivada?

 

  Definición: Una función F es una antiderivada de una función f si F’ = f.

 En el ejercicio anterior, ¿cuáles son las antiderivadas de f(x) = 2x?

________________________________________________________________

 Las antidericadas no son únicas, ya que la derivada de una constante es cero. Si F(x) es una antiderivada de f(x), también F(x) + c para todo número c.

Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas antiderivadas son:

F(x) = x2 + 2

F(x) = x2 + 1

F(x) = x2

F(x) = x2 - 1

F(x) = x2 - 2

Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene :

 

 

 

 

 

 

 

 

A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de antiderivadas, con una derivada en común, que es f(x) = 2x.

 Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + c se llama la integral indefinida de f(x). El adjetivo indefinida se usa porque la constante c es arbitraria o indefinida.

Definición: Si F es una antiderivada de f, entonces se expresa de la forma:

el cual se lee "el integral indefinido de f(x) respecto a x es F(x) + c". El símbolo

se conoce como el símbolo de integración, f(x) es el integrando y c es la constante de integración.

De manera que:

se lee "el integral indefinido de 2x respecto a x".

  

Tema: Reglas de integración

 

 Ejemplos para discusión:

 

 Ejemplo: Halla la ecuación de la curva dada la derivada  f(x) = 2x   y  el  punto (2, 9) en la curva.

Ejercicio de práctica: Halla:

 

 Tema: Integración por sustitución

 Considera el siguiente ejemplo:

 

El método empleado para este ejercicio no es muy práctico, por que ¿qué pasaría si tuvieramos que calcular:

 Para resolver este tipo de ejercicio utilizamos lo que se conoce como la integración por sustitución. Para hacer la integración por sustitución seguimos los siguientes pasos:

 1) Hacer la elección de u, digamos u = f(x). Casi siempre u está entreparéntesis o elevado a un exponente o dentro de un radical.

2) Hallar :

3) Hacer la sustitución de u = f(x), du = f’(x) y

4) Todo debe estar en términos de u. Si no es posible se debe tratar otra sustitución.

5) Reemplazar u por f(x), de manera que la respuesta esté en términos de x.

 

Ejemplos para discusión:

 

Al usar la integración por sustitución se puede hallar la integración de este tipo de funciones sin hacer mucho uso de multiplicaciones.

 

Ejercicio de práctica: Halla:

 

Tema: Integral definida y área

Subtema: Teorema Fundamental del Cálculo

 

Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces

donde F es cualquier función tal que F’(x) = f(x) para todo x en [a,b].

La función f se llama el integrando y las constantes a y b son los límites de integración. El proceso de hallar el valor de una integración definida se llama evaluar el integral.

Teorema:

cuando c es una constante.

 

Ejemplo:

 

Propiedades de integración:

 

donde k es una constante

donde a<c<b

 

 Ejemplos para discusión:

 1) Halla el área de la región limitada por las rectas y =4x, x = 0, x = 2 y el eje x.

2) Halla el área de la región limitada por la curva y = x2 en el intervalo [2,4].

3) Calcular:

4) Dibuja la región limitada por f(x) = 1 - x2 y por el eje x, y halla el área de la región.

5) Usa el teorema fundamental del cálculo para hallar el área limitada por la gráfica de y = 2x2 - 3x + 2  y  el  eje x entre x = 0  y  x = 2.

 6) Determina el área de la región limitada por y = x2 – 4 entre x = 0  y  x = 4.  

 

 Nota: El área es un número no negativo. Si la gráfica de y = f(x) está por debajo del eje x, entonces se determina el área por:

 

Asignación:  Halla el área de cada una de las regiones limitadas por:

1)  y = 3  en el intervalo [2, 7]

2)  y = x  en el intervalo [0, 4]

3)  y = x - x2  en el intervalo [0, 1]

4) y = cos x  en el intervalo [0, ½π]

6) y = 3x2 + 1, x = 0, x = 2, y = 0

7) f(x) = 4 - x2  y  el eje x en el intervalo [0,2]

 

 Respuestas:

1)  15

2)   8

 

4)  1

5)  ½

6)  10

 

 

 

 Tema: Area de una región comprendida entre dos curvas

 A. Región limitada por curva arriba y curva abajo

 Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y

para todo x en [a,b], entonces el área de la región limitada por y = f(x), y = g(x),

x = a y x = b. es:

Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representa la curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) es la parábola que abre hacia abajo (observa que es la curva de arriba en la región limitada por ambas funciones) y g(x) es la parábola que abre hacia arriba (esta es la curva de abajo en la región limitada por ambas funciones). 

Pasos para hallar el área de una región comprendida por una curva arriba y otra abajo:

 1) Dibuja las gráficas. Esto permite visualizar qué curva está arriba y cuál está abajo.

2) Halla los límites de integración, los cuales se leen en el eje x.

3) Halla:

Ejemplos para discusión:

1) Halla el área de la región limitada por y = x2 + 2,  y = -x,  x = 0   y   x = 1.

2) Halla el área de la región limitada por y = x2   y   y = 2x.

3) Determina el área de la región limitada por  y = x2 - 3x - 4  y  el eje x.

 

B. Región limitada por curva derecha y curva izquierda

El proceso para calcular el área de una región limitada por una curva a la derecha y otra a la izquierda es similar al anterior. Se recomienda dibujar las gráficas para visualizar qué curva está a la derecha y cuál a la izquierda. Los límites de integración se leen en el eje y, y se halla de la forma:

Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de la derecha y g(y) la curva de la izquierda.

Ejemplo para discusión:  Halla  el  área  de  la  región  limitada  entre  x = 3 - y2, y = x - 1.

  Ejercicio de práctica:

 1) Halla el área de la región limitada por y = x2  y  y = 1.

2) Calcula el área de la región comprendida por x = y2  y  y = x - 6.

 

 Tema: Volúmenes de cuerpos de revolución

Ahora estudiaremos otra de las aplicaciones del integral definido, el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución (cuerpos de revolución). Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio de fórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como la paraboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen. La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.

 

 A. Volumen de un sólido de revolución cuya rotación es alrededor del eje x por el método de discos:

El volumen de un sólido que se genera al girar la región entre la gráfica de una función continua y = f(x) y el eje x de x = a a x = b alrededor del eje x es:

Ejemplo: Halla el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por

:

alrededor del eje x.

 

Ejercicio de práctica: Halla el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por:

alrededor del eje x.

 

 

B. Volumen de un sólido de revolución cuya rotación es alrededor del eje y por el método de discos:

El volumen de un sólido que se genera al girar la región entre la gráfica de una función continua y el eje y de y = c  a  y = d alrededor del eje y es:

 

Ejemplo: Halla el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por y = x2, x = 0, y = 1, alrededor del eje y.

 Ejercicio de práctica: Halla el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por y = x3, el eje y , y = 3, alrededor del eje y.

 

C. Volumen de un sólido de revolución que no tiene borde en el eje de rotación por el método de arandelas:

 Si la región que se gira para generar un sólido no tiene borde en el eje de rotación, entonces el sólido tiene un agujero. El volumen se determina por:

donde R es el radio exterior y r es radio interior.

Ejemplos para discusión:

1) Halla el  volumen del sólido que  se genera al girar la región limitada  por        y = x2 + 1  y   y = -x + 3,  alrededor del eje x.

 2) Halla el volumen del sólido que se genera al girar la región  limitada  por        y = 2x  y  y = x2,  alrededor del eje y.

Ejercicio de práctica:  Halla el volumen del sólido de revolución que se genera por la región limitada por y = x2  y la recta y = x  al rotarla:

1.      alrededor del eje de x

2.      alrededor del eje de y

 

D.  Volumen de un sólido de revolución por el método  de capas (cascarones cilíndricos)

Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos porque utiliza capas cilíndricas.  Un cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concétricos.  Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método de capas se utilizan las siguientes fórmulas:

1) Si el eje de rotación es horizontal, entonces:

Donde y representa el radio de la capa cilíndrica y g(y) la altura de la misma.  El intervalo de integración se lee en el eje de y.

2) Si el eje de rotación es vertical, entonces:

Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) la altura de la misma.  El intervalo de integración se lee en el eje de x.

Ejemplos para discusión en clase:

1) Halla el volumen del sólido de revolución  que se genera al rotar la región limitada por  f(x) = √x,  el eje de x, y  la recta x = 4, alrededor del eje de y.

2)  Halla el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región limitada por  f(x) = √x,  el eje de x, y  la recta x = 4, alrededor del eje de x.

Ejercicio de práctica:  Halla el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la region comprendida por y = x , el eje de x y la recta x = 2:

1.      alrededor del eje de y

2.      alrededor del eje de x