LA INVERSA DE UNA FUNCION

 

Antes de definir lo que es la inversa de una función necesitamos conocer  qué es una función uno a uno (función inyectiva).

 

 

Definición:  Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada y, y diferentes coordenadas x.

 

 

Ejemplos para discusión:  Determina en cada caso si f representa una función, y si es función uno a uno.

 

1)  g = {(0,3), (0,5), (4,7)}

2)  h = {(0,3), (2,3), (7,4)}

3)  k = {(0,3), (2,5), (4,8)}

4)  f(x) = x2  

 

 

Teorema:  Funciones uno a uno

 

1)  Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio a  y  b, para a diferente de b , entonces f no es una función uno a uno.

 

2)  Si la suposición f(a) = f(b) implica siempre que el dominio de los valores  a  y  b  son iguales, entonces f es una función uno a uno.

 

Ejemplos para discusión:  Determina si f es uno a uno.

 

1)  f(x) = 2x - 1

2)  f(x) = 4 - x2 

 

Ejercicio de práctica:  Determina si f(x) = 4 - 2x  es uno a uno.

 

 

Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno.  Si una recta horizontal interseca la gráfica de una función en más de un punto, entonces la función no es uno a uno.  Si por el contrario, si cada recta horizontal interseca la gráfica en un punto o si no lo hace, entonces la función es uno a uno.

 

 

Teorema:  Prueba de la recta horizontal

 

Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal interseca la gráfica de la función en a lo más un punto.   

Ejemplos:

 

1)

  

 

f(x) = x2  no pasa la prueba de la recta horizontal,  f  no es uno a uno, pues la recta horizontal interseca la gráfica en más de un punto.

 

2)

 

f(x) = 2x + 4 pasa la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno.  La recta horizontal interseca la gráfica en un punto.

 

 

Teorema:  Si una función f es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio, entonces f es una función uno a uno.

 

Por ejemplo, las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los números reales ; f(x) = x3 es una función creciente  en su dominio que es los números reales.

 

 

Funciones inversas

 

 

Definición:  Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f-1,  es la función formada al invertir todos los pares ordenados en f.  Por tanto:

 

f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f}

 

Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y f-1  no existe.

 

Ejemplo:   Sea   f  =  {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}.      Observa que  f  es una función uno a uno.      Por tanto,  f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.

Propiedades de las funciones inversas:

 

Si f-1 existe, entonces:

 

1)  f-1 es una función uno a uno

2)  dominio de f-1 = recorrido de f

3)  recorrido de f-1 = dominio de f

 

En nuestro ejemplo anterior:

1)  dominio de f es {1,2,3}.    Dominio de f es el recorrido de f-1.

2)  recorrido de f es {2,4,9}    Recorrido de f es el dominio de f-1.

3)  dominio de f-1 es {2,4,9}    Dominio de f-1  es el recorrido de f.

4)  recorrido de f-1 es {1,2,3}.  Recorrido de f-1 es el dominio de f.

 

Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados es fácil.  Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación?  Veamos el procedimiento algebraico en los siguientes ejemplos para discusión.

 

Ejemplos para discusión:  Halla la inversa de:

 

 

Ejercicio de práctica:  Halla la inversa de:

 

 

 

La inversa de una función vista gráficamente

 

Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un sistema de coordenadas, los puntos (x, y)  y  (y, x) son simétricos con respecto a la recta y = x.

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  Dibuja la gráfica de f(x) = x - 5 usando tablas de valores, asigna a  x   los valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x.  Intercambia las coordenadas de los pares ordenados  de f(x) y construye  la nueva gráfica, que es la inversa de f(x).   Observa que los puntos de f(x) y los puntos de f-1(x) son simétricos con respecto a la recta y = x.

 

2)  Halla la inversa de .  Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas funciones en el mismo plano.

 

3)  Halla la inversa de .  Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas funciones en el mismo plano.