FUNCIONES LOGARITMICAS

 

 

 

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el  logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. 

 

 

Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

logb y = x  si y sólo si  y = bx.

 

Nota:  La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

 

Ejemplos:

 

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

 

2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

 

 

Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log10 3  está definido, pero el log10 0  y  log10 (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 

 

 

Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

 

 

 

 

Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

 

Ejemplo para discusión:  Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

 

 

Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

 

 

 

Solución de ecuaciones logarítmicas simples

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  Halla el valor de x si log3 9 = x.

2)  Halla el valor de b si logb 8 = 3.

3)  Halla el valor de y si log2 y = 7.

 

Ejercicio de práctica: 

 

1)  Halla el valor de y si log3 27 = y.

2)  Halla el valor de b si logb 100 = 2.

3)  Halla el valor de x si log2 x = -3.

 

 

Propiedades de las funciones logarítimicas:  Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y  p  y  x  son números reales, entonces:

 

1)  logb 1 = 0

2)  logb b = 1

3)  logb bx = x

4)  logb MN = logb M + logb N

6)  logb Mp = p logb M

7)  logb M = logb N  si y sólo si  M = N

 

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para simplificar:

 

1)  log5 1 =

2)  log10 10 =

3)  log10 0.01 =

 

 

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:

 

1)  log10 1 =

2)  log5 25 =

3)  log10 10 -5 =

 

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para expandir cada expresión:

 

1)  logb 5x =

2)  logb x9 =

 

 

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

 

 

 

 

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

 

1)  log3 (x) + log 3 (6) =

2)  log3 (24) - log3 (4) =

3)  log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =

 

 

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

 

1)  log10 (5) + log10 (3) =

2)  log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =

3)  2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =

 

 

Logaritmos comunes y naturales

 

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10.  Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e.   Si  y = ex  entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.  

Notación:

  Logaritmo común:  log x = log10 x

 Logaritmo natural:    ln x = loge x 

 

Ejemplo para discusión:  Usa la calculadora para hallar:

 

1) log 2 =

2) ln .0034 =

3) log (-3.24) =

 

 

Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

 

1) log 3 =

2) ln 28.693 =

3) log(-0.438) =

 

 

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b.  En particular:

 

 

 

 

Ejemplos:

 

Usa las propiedades para expandir:

 

 

Simplifica como un solo logaritmo:

 

 

    

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

 

La   ecuación   2x - 1 = 7   representa   una   ecuación    exponencial   y   la   ecuación

log(x + 1) - log x = 3  representa una ecuación logarítmica.  Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

 

 

Ejemplo para discusión:  Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

 

 

Ejercicio de práctica:  Resuelve las siguientes ecuaciones:

 

 

 

Gráficas de funciones logarítmicas

 

Las funciones y = bx  y  y = logb x  para b>0  y  b diferente de uno son funciones inversas.  Así que la gráfica de  y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica  de  y = bx.  La gráfica de y = bx  tiene como asíntota horizontal al eje de x  mientras  que la gráfica de  y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

 

                             

 

                             y = 2x                                                           y = log2 x

     

Las funciones y = 2x   y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x.  El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.  El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.