Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

Ejemplo para discusión: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1) (-3,4) y (6, -2)

2) (-3, -4) y (3, 2)

3) (-4, 2) y ( 3, 2)

4) (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Ejercicio: Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

1) (-3 , -3) y (2, -3)

2) (0, 4) y (2, -4)

3) (-2, -1) y (1, 2)

4) (-3, 2) y (-3, -1)

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).

Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.

Ejemplo: La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?

Ejercicio: Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3 y el intercepto en y en (0, 5).

Ecuaciones lineales en dos variables de forma general

Definición: Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.

Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que:

y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5

y = -2x en la forma general es 2x + y = 0

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto. Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2. Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).

Ejemplo: Determina la pendiente y el intercepto en y de la recta cuya ecuación es 2x + y = 1. Dibuja la gráfica.

Rectas verticales y horizontales

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.

Ejemplos: Construye la gráfica de cada ecuación:

1) x = -2

2) y - 5 = 0

3) 2y + 12 = 0

4) 3x – 15 = 0

Ecuaciones de la forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x₁, y₁) con pendiente m en la forma punto-pendiente es y – y₁ = m(x – x₁).

Ejemplos para discusión: Halla la ecuación de la recta dado:

1) m = -3, punto (8, 0)

2) m = -2, punto (4, 2)

3) puntos: (0, 5) y (3, 3)

4) puntos: (-2, 3) y (-1, -6)

Ejercicio de práctica: Halla la ecuación dado:

1) m = 5 y el punto (-7, -2)

2) puntos: (3, 1) y (-3, -1)