Pendiente de una recta

 

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

 

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

 

Esto es,

 

Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

 

1)  (-3,4) y (6, -2)

2)  (-3, -4) y (3, 2)

3)  (-4, 2) y ( 3, 2)

4)  (2, 4) y (2, -3)

 

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

 

Pendiente

Tipo de recta

positiva

recta ascendente

negativa

recta descendente

cero

recta horizontal

no definida

recta vertical

 

Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

 

1)  (-3 , -3) y (2, -3)

2)  (0, 4) y (2, -4)

3)  (-2, -1) y (1, 2)

4)  (-3, 2) y (-3, -1)

 

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto

 

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 

 

Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).

Nota:  Una ecuación de la forma  y = mx  representa una recta que pasa por el origen.

 

 

Ejemplo:  La pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 4).  ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?

 

Ejercicio:  Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3  y el intercepto en y en (0, 5).

 

Ecuaciones lineales en dos variables de forma general

 

Definición: Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.

 

 Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

 

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

 

y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0

 

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).

 

Ejemplo:  Determina la pendiente  y  el intercepto en y  de la recta  cuya  ecuación es 2x + y = 1.  Dibuja la gráfica.

 

Rectas verticales y horizontales

 

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.  Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

 

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante.  La pendiente de una recta horizontal es cero.

 

Ejemplos:  Construye la gráfica de cada ecuación:

 

1)  x = -2

2)  y - 5 =  0

3)  2y + 12 = 0

4)  3x – 15 = 0

Ecuaciones de la forma punto-pendiente

 

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m en la forma punto-pendiente es  y – y1 = m(x – x1).

 

Ejemplos para discusión:  Halla la ecuación de la recta dado:

 

1)  m  = -3, punto (8, 0)

2)  m = -2, punto (4, 2)

3)  puntos: (0, 5)  y  (3, 3)

4)  puntos: (-2, 3)  y  (-1, -6)

 

Ejercicio de práctica:  Halla la ecuación dado:

 

1)  m = 5 y el punto (-7, -2)

2)  puntos: (3, 1)  y  (-3, -1)