Universidad Interamericana de Puerto Rico

Recinto de Bayamón

Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas

 

 

 

Polígonos, Perímetro y Área

La geometría es la rama de la matemática que estudia la forma y el tamaño de cosas.  Para los griegos, originalmente la geometría era el estudio de la forma, tamaño y peso de la tierra.  Los egipcios con su conocimiento de las razones 3:4:5 en el triángulo les fue posible la construcción de pirámides. 

 

Pero fueron los griegos los que se   dedicaron al estudio formal  de  la  geometría.   Euclides (geométra griego y astrónomo) con su obra “Elements” aportó mucho a la geometría y su obra no fue cuestionada hasta el siglo 19.  Descartes (filósofo y matemático francés) inició el estudio algebraico de la geometría con las coordenadas de los ejes.  Combinándose así dos ramas de la matemática: la geometría y el álgebra.

 

Polígonos

 

Un polígono es una figura cerrada formada por la reunión de tres o más segmentos que no se intersecan y que solamente se tocan en los extremos.  Por ejemplo las siguientes figuras representan polígonos:

Las dos figuras a continuación no son polígonos.

 

 

Los polígonos se clasifican por el número de lados.  El vértice de un polígono es el punto donde se intersecan (tocan) sus lados.  Algunos ejemplos de polígonos son:

 

 

   Triángulo     Cuadrilátero           Pentágono           Hexágono         Octágono

    

    3 lados             4 lados                   5 lados                 6 lados             8 lados

    3 vértices         4 vértices               5 vértices              6 vértices         8 vértices

 

 

Tenemos  varios tipos de triángulos como los que se menciona a continuación:

 

Triángulo                  Triángulo                    Triángulo                        Triángulo

isósceles                  equilátero                    escaleno                          recto

 

Dos lados                   Tres lados                   Tres lados                    Un ángulo de          

iguales.                        iguales.                       diferentes.                    90 grados.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

También tenemos varios tipos de cuadriláteros:

 

 

Organization Chart 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                           El paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados   paralelos.

 

El rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos de 90

grados.

El rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales.

 

El cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.

El trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos.  Existen varios tipos de trapecios, estos son:

El trapecio isósceles es un trapecio con un par de lados iguales.

El trapecio recto es un trapecio con dos ángulos de 90 grados.

 El trapecio escaleno es un trapecio con sus cuatro lados son diferentes.

 

 

Un polígono regular es un polígono donde todos sus lados y ángulos son iguales.

 

Polígonos regulares

Lados

Ángulos

 

Triángulo equilátero

Tres lados iguales

Tres ángulos de 60 grados

 

Cuadrado

Cuatro lados iguales

Cuatro ángulos de 90 grados

 

Pentágono regular

Cinco lados iguales

Cinco ángulos de 108 grados

 

Hexágono regular

Seis lados iguales

Seis ángulos de 120 grados

 

Octágono regular

Ocho lados iguales

Ocho ángulos de 135 grados

 

Decágono regular

Diez lados iguales

Diez ángulos de 144 grados

 

 

 

Perímetro

 

El perímetro de un polígono es la longitud (contorno) alrededor del polígono.    De manera que, para calcular el perímetro de un polígono basta con sumar las longitudes de sus lados.

 

Por las características que poseen algunos polígonos existen fórmulas para calcular el perímetro, tales como: 

 

1)  P = 2b + 2h

 

Es la fórmula para hallar el perímetro de un rectángulo.  La suma del doble de su base (b)  y  el doble de su altura (h).

 

Ejemplo: 

 

El perímetro del rectángulo es:  P = 2(3) + 2 (2) = 10 unidades.

 

 

2)  P = 4s

 

Es la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado.  Se multiplica por 4 la longitud de uno de sus lados.

 

Ejemplo:

 

El perímetro del cuadrado es:  P = 4(2) =  8 unidades.

 

 

Las unidades pueden ser pulgadas, centímetros, pies, metros, milímetros u otras.

 

3)  Para calcular el perímetro de otras figuras simplemente sumamos las longitudes de cada uno de sus lados.  En la figura a continuación su perímetro es:  P =  5 + 2 + 11 + 9  = 27 unidades.

 

 

Nota:  El perímetro de un polígono regular es el producto del número de lados (n) por la longitud de uno de sus lados (s).  Esto es: P = n · s.  Por ejemplo, en un hexágono regular de longitud 2 su perímetro es P = (6)(2) = 12 unidades.

 

 

 

  s = 2  2

 
 

 

 

 


Área

 

El área de un polígono es la región comprendida por los bordes del polígono, o la medida de la superficie de la figura.

 

 

 

 

 

 

 


El área de un polígono se mide en unidades cuadradas, ya que el área es una medida en dos dimensiones.  Algunos ejemplos de unidades cuadradas son: pulgadas cuadradas, pies cuadrados, metros cuadrados, centímetros cuadrados. 

 

De manera que, el área de un polígono es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir el polígono. 

 

Existen varias fórmulas para calcular el área de los polígonos, tales como:

 

1)  A = b h,  para calcular el área de un paralelogramo: rectángulo, rombo, cuadrado, cuando conocemos la medida de la base (b) y la altura (h).  La altura (h) de un paralelogramo es la distancia perpendicular entre sus bases.

 

     b = 10

 

h = 5

 

El área de este paralelogramo es:  A = (10) (5) = 10 unidades cuadradas.

 

2)  A = s2  para calcular el área de un cuadrado cuando conocemos la longitud de su lado.

 

El área de este cuadrado es:  A = (4)2  = 16 cm2.

 

3)    para hallar el área de un triángulo conociendo la longitud de la base (b) y de la altura (h).  La fórmula para calcular el área de un triángulo se obtiene al dividir por la mitad el área del paralelogramo.  La altura (h) de un triángulo es la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a la base.

 

El área de este triángulo es:  .

 

4)  para hallar el área de un trapecio conociendo la altura (h) y la longitud de cada una de sus bases.

 

 

El área de este trapecio es: 

 

 

Reflexión:

 

1.      ¿Cuál es la diferencia entre el perímetro y el área de un polígono?

2.      ¿Cuál es la diferencia entre las medidas hechas en pulgadas y en pulgadas cuadradas?

3.      ¿Por qué tiene sentido el utilizar la fórmula de A = b h para calcular el área de un cuadrado?

4.      ¿Pueden dos rectángulos con igual área tener el mismo perímetro?  Explica.

 

Ejercicios:

 

1.      Halla el perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 7cm.

2.      ¿Cuál es la altura de un tirángulo si la base es de 6cm y el área es 12cm2?

3.      ¿Cuál es el área de un trapecio cuyas bases miden 8 pies y 2 pies, y la altura es 3 pies?

4.      ¿Cuál es el altura de un rectángulo de área    m2  y  6¼ m  de  largo??

5.      Un paisajista desea preparar un área rectangular de una casa para crear un jardín del tamaño 3 pies por 5 pies.  ¿Cuánto hilo necesita para delimitar la superficie del jardín?  ¿Qué cantidad de terreno utilizaría del patio para este jardín?

6.      Halla la altura de un trapecio si las medidas de sus bases son 3cm  y 7cm y tiene un área de 45cm2.

7.      Calcula el área de la siguiente figura:

 

8.  ¿Cuántas losetas cuadradas de 20cm de largo se necesitan para cubrir un

     área en la cocina de 5m de largo y 7m de ancho?

 

9.  ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 49 cm2?

 

10.  El siguiente rectángulo consiste de tres cuadrados del mismo tamaño. 

       ¿Cuál es el perímetro del rectángulo si su área es 108 cm2?

 

 

 

Preparado por:  Prof. Nilsa Toro

UIPR – Recinto de Bayamón