RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS

 

 

En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales.

 

Teorema del factor(factorización):  Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces x - r es un factor de P(x).  Por el contrario, si  x - r  es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x).

 

Ejemplos para discusión:

 

1)  ¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2 - x - 6?

2)  Demuestra que x + 1 es un factor de x25 + 1.

3)  ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)?

4) ¿Cuáles son las raíces de x4 - 1?

5) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x  de la gráfica de P(x) = x2 - x - 6?

 

Ejercicio de práctica:

 

1)  Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio

P(x) = x3 - 13x + 12.

2)  ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)?

3)  ¿Cuáles son las raíces de x2 + 4 = 0?

4)  ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x2 - 9?

 

Teorema fundamental del álgebra:  Cada polinomio P(x) de grado n>0 tiene al menos una raíz.

 

Definición:  Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k.

 

Ejemplos:

 

1)      En el  polinomio   P(x) = x2 - 10x + 25   es  un  polinomio  con  raíz   5 de   multiplicidad   2.       Observa que, x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2.

2)      Un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las siguientes raíces:-7 de multiplicidad  3    y    5  de  multiplicidad   2   queda     expresado   de    la   forma    factorizada    como :   P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2.

 

Teorema de las n raíces:  Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores lineales.  De aquí que, P(x) tenga exactamente n raíces (no necesariamente distintas).

 

 

Ejemplo:  El polinomio P(x) = 6(x - 5)3(x + 1)2(x - i)(x + i)  es de grado siete y tiene siete raíces, no todas diferentes.  Observa que 5 es una raíz de multiplicidad 3; -1 es una raíz de multilpicidad 2; i  y  -i es de multiplicidad 1.  Así que este polinomio de grado siete tiene exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus respectivas multiplicidades.

 

 

Teorema de raíces imaginarias:  Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes reales, si existe, ocurren en pares conjugados.

 

Ejemplo:  Al hallar las raíces  del polinomio P(x) = x2 - 6x + 13  por la fórmula cuadrática encontramos que las raíces son 3 + 2i   y   3 - 2i,  que son números conjugados imaginarios.

 

 

Teorema de las raíces racionales:  Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es una función polinómica con coeficientes enteros (donde an es diferente de cero y a0 es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional de P(x), entonces b es un factor del término constante a0  y  c es un factor del coeficiente de an.

 

Ejemplos para discusión:  Halla todas las raíces racionales para:

 

1) P(x) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6

2) P(x) = 2x3 - 7x2 + 4x + 3

 

Ejercicio de práctica:  Halla todas las raíces para P(x) = 2x3 + x2 - 11x - 10.