Repaso de funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales.

Definición: Una función exponencial es una función de la forma y = a^x, donde a>0 y a es diferente de uno.

Ejemplos:

F(x) = 2^x	F(x) = (½)^x = (2 ^-1)^x = 2 ^-x

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2^x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2^-x.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Ya sabes calcular y = a^x (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2^x, ¿cuál es el valor de x? _________; si 100 = 10^x. ¿cuál es el valor de x? __________

 Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces log_ay = x si y sólo si y = a^x.

Nota: La ecuación log_ay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x".

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 5² = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅ 25 = 2. De manera que. log₅ 25 = 2 es equivalente a 5² =25.

2) También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Resolución de ecuaciones logarítmicas simples. Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log₃ 9 = x.

2) Halla el valor de a si log_a 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log₂ y = 7.

 Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1.

1) log_a 1 = 0

2) log_a a = 1

3) log_a (u v) = log_a u + log_a v

5) log_a (uⁿ) = n log_a u

6) log_a M = log_a N, entonces M = N

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log₂ x - log₂ (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuación: log₈ 3 + ½ log₈ 25 = log₈ x .

Ejercicio de práctica: Resuelve log₄ (x + 1) - log₄ (3x - 2) = 2.

Función exponencial natural:

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...

La función exponencial f(x) = e^x se conoce como la función exponencial natural. La gráfica de esta función es:

f(x) = e^x

 Logaritmo natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = e^x, entonces x = log_e y = ln.

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln uⁿ = n ln u

4) ln e = 1

5) ln 1 = 0

Ejemplos para discusión:

1) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos:

2) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola cantidad:

Ejercicios:

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa:

1) 2³ = 8

4) log₁₀ 0.01 = -2

5) ln 2 = 0.6931...

6) ln 0.5 = -0.6931...

Halla el valor de x:

7) log₁₀ 1000 = x

9) log₃ x = -1

10) log_x 27 = 3

12) log₃ x + log₃ (x - 2) = 1

13) x - 3 = log₂ 32

14) x² - x = log₅ 25

Dibuja la gráfica de :

15) f(x) = 3^x

16) y = 3^-x

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos.

17) log₂ xyz

22) ln 3e²

Escribe cada expresión con un único logaritmo:

23) log₃ (x - 2) - log₃ (x + 2)

24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z

25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]

Respuestas:

1) log₂ 8 = 3

4) 10^-2 = 0.01

5) e^0.6931... = 2

7) x = 3

8) x = -3

10) x = 3

12) x = 3

13) x = 8

14) x = 2

15)

16)

 17) log₂ x + log₂ y + log₂ z

18) [ln x + ln y] - ln 2

21) -log₂ 5

22) ln 3 + 2