Sistemas
de Ecuaciones Lineales en dos Variables
En el curso de álgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables, como una ecuación de la
forma ax + by = c, donde a, b y c
son constantes pero a y b son diferentes
de cero. La solución de estas ecuaciones
eran pares ordenados. Ahora estudiaremos
lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
Definición: Un sistema
de ecuaciones lineales en dos variables x y y
, consiste de dos ecuaciones de la forma:
donde a,b,c,d,r y s
son constantes.
El conjunto
solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del
sistema.
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables
tenemos una de estas tres posibilidades como solución:
- una solución única, esto es, que las
rectas se intersecan en un punto.
En este caso, se dice que el sistema es independiente. Ejemplo:
Las rectas tienen pendientes
diferentes.
- ninguna solución, esto es, que las
rectas son paralelas. El sistema
es inconsistente. Ejemplo:
Las rectas tienen la misma
pendiente pero los interceptos en y son diferentes.
- infinito número de
soluciones, esto es, que las rectas coinciden.
El sistema es dependiente. Ejemplo:
Las rectas tienen la misma
pendiente y el mismo intercepto en y.
Tenemos tres métodos para resolver un sistema de
ecuaciones lineales en dos variables, estos son: método gráfico, método de sustitución
y método de eliminación (adición). El
método gráfico es un método que requiere la construcción de gráficas. Los métodos de sustitución y eliminación son
métodos algebraicos.
Ejemplos para discusión: (por los métodos: gráfico,
sustitución y eliminación)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones
lineales en dos variables:
el determinante
es el número ad – bc que nos
dice algo acerca de la solución del
sistema de ecuaciones. Esto es, si:
- ad – bc ≠ 0 entonces el sistema tiene una solución única. ¿Cuál es el determinante de
? ________________________________ - ad – bc = ) entonces el sistema tiene infinito número de soluciones o
ninguna solución. ¿Cuál es el
determinante de cada uno de los siguientes sistemas:
