Funciones trigonométricas definidas con ángulos

 

 

Si q es un ángulo arbitrario en la posición estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas y  P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de q, entonces:                   

                                                           b

 


                                                                   P(a,b)

                                                                  

                                       

                                                                 r             b

 

                                                               q

                                                                                                  a    

                                                                    a

 

 

 

 

Nota:  El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo .

                          

                                                

Ejemplos para discusión:

 

1)  Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo q cuyo lado terminal contiene el punto P(-3,-4).

 

2)  Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV  si :

 

 

Ejercicio de práctica:

 

1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado terminal de q  contiene al punto P(-6,-8).

 

2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar  q) dado que es un ángulo en el Cuadrante II  si:

 

 

Triángulo de referencia y ángulo de referencia

 

Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo q, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al eje horizontal.  El ángulo de referencia a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de q y el eje horizontal. 

 

                                                                             b

                                                                      

                                                                    

 

 

 

                                                                        

                                                                        q                                                  a

                                                                                                                                    

                                                                                           

                                                                                             

                                                                           

                                                                                      

                                                                                             

                                                                                                            P(a,b)  

                                                                                                              

 

 

 

Ejemplos para discusión:  Veamos la construcción de los triángulos de referencia y ángulos de referencia correspondiente a los siguientes ángulos:

 

 

 

 

Funciones trigonométricas de ángulos de 450 , 300  y  600 

 

 

Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 450, construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 450 en posición normal y los dos lados iguales.  Recuerda que un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 900.  Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal.  Observa la ilustración a continuación.

 

 

 

 

                                                                                 b

                                                                                                                                                                                                                                           

                                                                                                     

 

                                                                                                                 

 

                                                                                                                  

                                                                                                                 

                                                                                                                            

                                                                                                                                  

                                                                                                                                 

                                                                                                                                  

                                                                                                                               

                                                                                                     

 

 

 

Como a = 1  y  b = 1 entonces:

Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con ángulos para

q = 450  tenemos:

 

Para hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 300, construimos el triángulo rectángulo con los ángulos agudos de 300 y 600 , y la hipotenusa es el doble del largo del lado opuesto al ángulo de 300.  Constuimos el ángulo de 300 en posición normal y seleccionamos el punto (a,1) en el lado terminal de manera que la hipotenusa es de longitud 2.  Observa la figura a continuación. 

 

                                                        b

 

 

                                                                                (a,1)

 

                                                                   r = 2

                                                                                         1

                                                                300                                                a

                                                      0               a

 

 

 

 De manera que, el valor de y = 1,  r = 2 y por el teorema de Pitágoras:

 

Como el valor de x en el Cuadrante I es positivo entonces:

Así que las coordenadas del punto en el lado terminal del ángulo de 300 son:

Al utilizar la definición de funciones trigonométricas para q = 300 tenemos:

 

 

 

Al construir el triángulo rectángulo con el ángulo de 600 en la posición normal tenemos que:

 

                                                          b

                                                         

 

                                                                         

 

                                                            r=2

 

 

                                                             600

                                                       0       1                                 a

 

 

 

 

                                            

Ejemplo para discusión:  Evalúa usando los triángulos de referencia apropiados:

 

 

Ejercicio de práctica:  Usa los triángulos de referencia apropiados para evaluar: