Vectores en R2 y R3

 

 

Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud.  La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn.  En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar.  En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

 

En R2:

 

  1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces  a + b = (a1, a2)  +  (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

 

  1. el producto escalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R2 , entonces  αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2). 

 

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

 

 

Observa que si  a = (a1, a2)   y   b = (b1, b2),  entonces la  suma  de  los  vectores

 a + b = (a1, a2)  +  (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).  El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b.  De manera, que se puede obtener  a + b dibujando un paralelogramo.  A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

 

 

 

 

 

 

 

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α.  Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.

 

 

En R3:

 

  1. la   suma   de   vectores   se   define   por:   sean   a, b  Є  R3,   entonces a + b = (a1, a2, a3)  +  (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

 

  1. el producto escalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R3 , entonces  αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3). 

 

 

Definición:   Sean  a   y   b  vectores  en  Rn,  tal  que  a = (a1, a2, a3, …, an)  y  b = (b1, b2, b3, …, bn).  El producto interno de a  y  b representado por a ∙ b ó <a, b>, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

a ∙ b = <a ∙ b> = (a1 · b1  +  a2 · b2   +   a3 · b3  + +  an · bn).

 

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

 

Ejemplo (para discusión):  Halla el producto interno de:

 

  1. a = (1, 1)  y  b = (1, -1) en R2
  2. a = (3, 5)  y  b = ( 6, 10) en R2
  3. a = (2, -3, 6)  y  b = ( 8, 2, -3) en R3
  4. a = (1, -2, -3)  y  b = (2, -5, 4)  en R3

 

Definición:  Sea a = (a1, a2, a3, …, an)  un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = <a, a>.  Esto es:

 

 

Ejemplos (para discusión):  Calcula la norma de:

 

  1. a = (2, 2) en R2
  2. a = (1, 3, -2) en R3  

 

j0290516Notas:

 

  1. El vector cero tiene magnitud cero.  Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.

 

  1. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║.

 

  1. Ejemplo para discusión:  Sean a = (1, 5)  y b = (3, 1).  Compara  ║a + b║  y  ║a║ + ║b║.

 

 

Definición:  Sean   a   y   b  vectores  en  Rn,  donde   a = (a1, a2, a3, …, an)   y  b = (b1, b2, b3, …, bn).  La distancia entre a y b  representada por d(a, b) está definida por:

 

 

Ejemplos (para discusión):  Halla la distancia de:

 

  1. a = (1, 7)  y  b = (6, -5) en R2
  2. a = (3, -5, 4)  y  b = (6, 2, -1) en R3

 

j0092317Ejercicios:

 

  1. Halla el producto interno a ∙ b de:

 

a) a = (3, -5, 2)  y  b = (4, 1,  -2)

b) a = (1, -8, 0, 5)  y  b = (3, 6, 4, 0)

c) a = (3, -1)  y  b = (2, 4)

 

  1. Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3)  y  b = (2, -5, 4) sean vectores ortogonales.
  2. Halla la norma de los siguientes vectores:

 

a) (2, -7)

b) (3, -12, -4)

 

  1. Determina el valor de k tal que ║a║ = √39  si a = (1, k, -2, 5).

 

  1. Un vector unitario a es un vector cuya norma (longitud o magnitud) es 1.  Verifica si el vector  es un vector unitario.
  2. Halla la distancia entre:

 

a. (1, 5)  y  (1, 1) en R2

b. (3, 4, 5)  y  (2, 3, 5) en R3

c. (-2, -1, 2)  y  (-5, 1, 2) en R3

 

  1. Halla el valor de k tal que d(a, b) = 6 si a = (2, k, 1, -4)  y  b = (3, -1, 6, -3).

 

  1. Demuestra que ║a║2 = <a, a> siendo a un vector en Rn.

 

  1. Demuestra que <a, b> = <b, a>, donde a  y  b son vectores en Rn.