OPERACIONES CON FUNCIONES

 

Función Compuesta

 

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustración entre los conjuntos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ejemplo 1

 

Si f(x) = 2x2+1   y   g(x) = x -1 entonces

 


( f o g )(1) = f ( g (1) )

 

 


f ( g ( 1 ) ) =  f ( 0 )

 

 

 


        

 

f ( 0 ) = 2 ( 0 )2 + 1 = 1

 

Finalmente ( f o g )(1) = 1.

 

Ejemplo 2

 

Si f(x) = 2x2+1   y   g(x) = x -1 entonces

 


( f o g )(x) = f ( g (x) )

 

 


f ( g ( x ) ) =  f ( x-1 )

 

 

 


        

 

f ( x-1 ) = 2 ( x-1 )2 + 1

             = 2 ( x2 – 2x + 1) +1

             = 2x2 – 4x + 2 + 1

             = 2x2 – 4x + 2

 

 Finalmente (f o g)(x) = 2x2 – 4x + 2.

 

Trabaja problema seleccionado 3 de la página 169.

 

PRACTICA

 

Usa las funciones f y g del ejemplo anterior y halla:

 

*  ( f o g )(-1)

 

*  ( f o g )(2)

 

*  ( g o f )(-2)

 

*  ( g o f )(a)

 

RESPUESTAS

 

Un ejercicio interesante es cuando conoces la regla definida en la composición y deseas saber cuáles funciones la producen, esto se llama descomposición.

 

Ejemplo:

 

Halla f y g  si  (f o g)(x) = ( 2x+3 )2

 

*  Observa que la regla definida es multiplicar por 2, sumar 3 y cuadrar

*  En la composición ( f o g )(x),  la primera función que actúa es g

*  En la regla ( 2x+3 )2, la primera operación que se realiza al seguir el orden de las operaciones, es aquella del paréntesis, ( 2x + 3 )

*  asigna esa regla a la función g, esto es, define g (x) = 2x + 3

*  la otra regla, cuadrar, se la asignas a la función f, esto es, f (x) = x2

 

Verifica, si f (x) = x2   y  g (x) = 2x + 3 , entonces:

 

( f o g ) (x) = f ( g (x) ) = f ( 2x + 3 ) = ( 2x+3 )2; lo que se quería.

 

Trabaja problema seleccionado 4 de la página 170.

 

TAREA: página 178 (13-18), (43-48); página 180 (81-84).

 

 

Pasa a función uno-uno o regresa al bosquejo.