Método Gráfico

 

Es un método muy útil para investigar si un sistema tiene o no tiene solución.  Si usas la calculadora gráfica resulta muy fácil hallar esa solución.  De lo contrario, no es muy eficiente para hallar la solución de un sistema, particularmente, si esa solución es un número racional o irracional.

 

 

 

 


Para conocer el método gráfico selecciona

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Ya observaste que al trazar la gráfica de un sistema 2x2 se tienen tres posibilidades:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                               

 

                                                                                               

 

 

 

Clases de sistemas

consistente

sistema que tiene una solución

 

inconsistente

sistema que no tiene solución

dependiente

sistema que tiene infinitas soluciones

Ejemplo: el sistema  es un sistema consistente porque tiene una solución; el par ordenado ( 2, 1).

 

Método de Sustitución

 

Es un método que consiste en expresar una de las variables en términos de la otra y sustituir esta expresión en una de las ecuaciones originales, de modo que resulte una ecuación en una sola variable

 

Ejemplo 1

 

 

 

*  escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a   1:

 

2x + y = 5         (la variable y tiene coeficiente numérico igual a 1)

 

*  despeja para esa variable:

 

y = 5 - 2x

 

*  sustituye esta expresión en la variable y de la otra ecuación:

 

*   - 4x + 6 (5 - 2x) = 12          (observa que obtienes una ecuación en una sola variable)

 

*  resuelve la ecuación:

 

- 4x + 30 - 12x = 12  (propiedad distributiva)

-16x + 30 = 12           (agrupa los términos semejantes)

                      (simplifica y despeja)

x =             (valor de x)

 

*  sustituye este valor x = en la ecuación en términos de y (del segundo paso):

 

y = 5 - 2  = 5 + = =      (valor de y)

 

 

*  solución  . El sistema es consistente.

 

 

Ejemplo 2

 

 

*  escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a 1:

 

x - y = 5    (la variable x tiene coeficiente numérico igual a 1)

 

*  despeja para esa variable:

 

x =  5 + y

 

*  sustituye esta expresión en la variable x de la otra ecuación:

 

5 + y – y = 6

 

(observa que obtienes una ecuación en una sola variable)

 

*  resuelve la ecuación:

 

5 = 6

 

(observa que obtienes una aseveración FALSA)

 

*  conclusión: el sistema NO TIENE solución. El sistema es inconsistente.

 

 

Ejemplo 3

 

 

*  escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a 1:

 

x + 2y = 5   (la variable x tiene coeficiente numérico igual a 1)

 

*  despeja para esa variable:

 

x =  5 - 2y

 

*  sustituye esta expresión en la variable x de la otra ecuación:

 

2 ( 5 - 2y ) + 4y = 10

 

(observa que obtienes una ecuación en una sola variable)

 

*  resuelve la ecuación:

 

10 – 4y + 4y  = 10

10 = 10

 

(observa que obtienes una IDENTIDAD)

 

*  conclusión: el sistema tiene INFINITAS soluciones; el sistema es dependiente.

 

 

PRACTICA: resuelve usando sustitución

 

* 

 

 

* 

 

 

* 

 

 
Método de Eliminación

 

Se trata de eliminar una de las variables del sistema mediante manipulaciones algebraicas y despejar para la otra. Una vez se tiene el valor de una de las variables, se obtiene el otro valor, por sustitución.

 

Para eliminar una de las variables del sistema se observan sus coeficientes. Aquellas que tengan coeficientes con signos opuestos son las candidatas a eliminarse. Si ninguna tiene coeficientes con signos opuestos, entonces hay que hacer algunas manipulaciones algebraicas para lograrlo.

 

 

Ejemplo 1

 

     

 

*  los coeficientes de la variable y tienen signos opuestos:

 

1 , -1

 

*  elimina la variable y,  sumando las ecuaciones

                       

                  

2x = 6

 

     *   resuelve la ecuación

 

x = 3     (valor de x)

 

*  sustituye el valor de x en una de las ecuaciones originales, en x + y = 2

 

3 + y = 2

 

*  resuelve la ecuación

 

y = 2 – 3

y = -1      (valor de y)

 

*  solución ( x, y )= ( 3, -1 )

 

 

Ejemplo 2

 

           

 

*  no hay variables con coeficientes con signos opuestos

 

*  para lograr obtener coeficientes opuestos se hacen manipulaciones algebraicas a las ecuaciones:

 

si multiplicas la segunda ecuación, x – 2y = -8 por –2, obtienes una ecuación equivalente:

 

- 2 ( x – 2y = - 8 )

 

=  - 2x + 4y = 16

 

Ahora trabajas con el sistema equivalente:

 

                                                     

 

( observa que ya tienes la x con coeficientes con signos opuestos )

 

*  elimina la variable x,  sumando las ecuaciones

                       

9y = 18

 

     *   resuelve la ecuación

 

y = 2    (valor de y)

 

 

*  sustituye el valor de y en una de las ecuaciones originales, x – 2y = -8

 

x – 2 ( 2 ) = -8

 

*  resuelve la ecuación

 

x - 4 = - 8

x = - 8 + 4

x = - 4     (valor de x)

 

*  solución ( x, y )= ( - 4, 2 )

 

 

PRACTICA: resuelve usando eliminación

 

* 

 

 

* 

 

 

* 

 

 

 

Método de eliminación para sistemas 3x3

 

*   reduce el sistema a uno 2x2 ( ¿ cómo ? ):

*escoje dos ecuaciones y elimina una variable

*escoje otras dos ecuaciones y elimina la misma variable

*   resuelve el sistema 2x2 resultante

*   sustituye para ir buscando los valores de las variables

 

 

Ejemplo 1

 

 

*   escoje dos ecuaciones y elimina una variable

 

 

*           escoje otras dos ecuaciones y elimina la misma variable

 

 

 

*   resuelve el sistema 2x2 resultante

 

 

 

multiplica la ecuación 2 por – 3: -3 ( 2a + b = 9 ) = -6a –3b = -27

 

 y obtienes el sistema equivalente:

 

 

elimina la variable b:

 

 

 

*           sustituye el valor de a en el sistema 2x2 para buscar el valor de la variable b :

 

 

 

*           sustituye el valor de a y el de b en el sistema 3x3 para buscar el valor de la variable c:

 

 

*    .

 

 

PRACTICA: resuelve usando eliminación

 

                 

 

           

 

 

 

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