Método Gráfico
Es
un método muy útil para investigar si un sistema tiene o no tiene
solución. Si usas la calculadora gráfica
resulta muy fácil hallar esa solución. De
lo contrario, no es muy eficiente para hallar la solución de un sistema,
particularmente, si esa solución es un número racional o irracional.
Para conocer el método gráfico selecciona
EXPLORA Y DESCUBRE CON LA CALCULADORA
!
Luego regresa aquí para estudiar otros métodos.
Ya
observaste que al trazar la gráfica de un sistema 2x2 se tienen tres
posibilidades:
Clases de sistemas
|
consistente |
sistema
que tiene una solución |
|
|
inconsistente |
sistema
que no tiene solución |
|
|
dependiente |
sistema
que tiene infinitas soluciones |
|
Ejemplo: el sistema 
es un sistema
consistente porque tiene una solución; el par ordenado (
2, 1).
Método de Sustitución
Es
un método que consiste en expresar una de las variables en términos de la otra
y sustituir esta expresión en una de las ecuaciones originales, de modo que
resulte una ecuación en una sola variable
Ejemplo 1
escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a 1:
2x + y = 5 (la variable y tiene coeficiente numérico igual a 1)
despeja para esa variable:
y = 5 - 2x
sustituye esta expresión en la variable y de la otra ecuación:
- 4x + 6 (5 - 2x) = 12
(observa que obtienes una
ecuación en una sola variable)
resuelve la ecuación:
-
4x + 30 - 12x = 12 (propiedad distributiva)
-16x + 30 = 12
(agrupa los términos
semejantes)
(simplifica y despeja)
x = 
(valor de x)
sustituye este
valor x = en la ecuación en términos de y (del segundo paso):
y = 5 - 2 
= 5 + 
= 
= 
(valor de y)
solución 
. El sistema
es consistente.
Ejemplo 2
escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a 1:
x - y = 5 (la variable x tiene coeficiente numérico igual a 1)
despeja para esa variable:
x = 5 + y
sustituye esta expresión en la variable x de la otra ecuación:
5 + y – y = 6
(observa
que obtienes una ecuación en una sola variable)
resuelve la ecuación:
5 = 6
(observa
que obtienes una aseveración FALSA)
conclusión: el sistema NO
TIENE solución. El sistema es inconsistente.
Ejemplo 3
escoge una de las ecuaciones cuya variable tenga coeficiente numérico igual a 1:
x + 2y = 5 (la variable x tiene coeficiente numérico igual a 1)
despeja para esa variable:
x = 5 - 2y
sustituye esta expresión en la variable x de la otra ecuación:
2 ( 5
- 2y ) + 4y = 10
(observa
que obtienes una ecuación en una sola variable)
resuelve la ecuación:
10 – 4y + 4y = 10
10 = 10
(observa
que obtienes una IDENTIDAD)
conclusión: el sistema tiene
INFINITAS soluciones; el sistema es dependiente.
PRACTICA:
resuelve usando sustitución
Método de Eliminación
Se trata de eliminar una de las variables del sistema
mediante manipulaciones algebraicas y despejar para la otra. Una vez se tiene
el valor de una de las variables, se obtiene el otro valor, por sustitución.
Para eliminar una
de las variables del sistema se observan sus coeficientes. Aquellas que tengan coeficientes con signos opuestos son las candidatas a eliminarse. Si ninguna tiene coeficientes con signos
opuestos, entonces hay que hacer algunas manipulaciones algebraicas para
lograrlo.
Ejemplo 1
los coeficientes
de la variable y tienen signos opuestos:
1 , -1
elimina la
variable y, sumando las ecuaciones
2x = 6
resuelve la
ecuación
x = 3 (valor
de x)
sustituye el valor de x
en una de las ecuaciones originales, en x + y = 2
3 + y = 2
resuelve
la ecuación
y = 2 – 3
y = -1 (valor de y)
solución ( x, y )= ( 3, -1 )
Ejemplo 2
no hay
variables con coeficientes con signos opuestos
para lograr obtener
coeficientes opuestos se hacen manipulaciones algebraicas a las
ecuaciones:
si multiplicas la segunda
ecuación, x – 2y = -8 por –2, obtienes una ecuación equivalente:
-
2 ( x
– 2y = - 8 )
= - 2x + 4y = 16
Ahora trabajas con el sistema equivalente:
( observa que ya tienes la x con coeficientes con signos
opuestos )
elimina la
variable x, sumando las ecuaciones
9y = 18
resuelve la
ecuación
y = 2 (valor
de y)
sustituye el
valor de y en una de las ecuaciones originales, x – 2y = -8
x – 2 ( 2 ) = -8
resuelve
la ecuación
x - 4 = - 8
x = - 8 + 4
x = - 4 (valor de x)
solución ( x, y )= ( - 4, 2 )
PRACTICA: resuelve usando eliminación
Método de eliminación para sistemas 3x3
reduce el sistema a uno 2x2 ( ¿ cómo ? ):
escoje dos ecuaciones y elimina una variable
escoje otras dos ecuaciones y elimina la misma variable
resuelve el sistema 2x2 resultante
sustituye para ir buscando los valores de las variables
Ejemplo 1
escoje dos ecuaciones y elimina una variable
escoje otras dos ecuaciones y elimina la misma variable
resuelve el sistema 2x2 resultante
multiplica la ecuación 2 por
– 3: -3 ( 2a + b = 9 ) = -6a –3b = -27
y obtienes el sistema
equivalente:
elimina la variable b:
sustituye el valor de a en el sistema 2x2 para buscar el
valor de la variable b :
sustituye el valor de a y el de b en el sistema 3x3 para
buscar el valor de la variable c:
.
PRACTICA: resuelve usando eliminación
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